வடிவக் கணிதம் (geometry),பகுமுறை வடிவக் கணிதம் (analytical geometry). வகை வடிவக் கணிதம் (differential geometry), நுண்கணிதம் (calculus) ஆகிய கணிதப் பிரிவுகளில் வளைகோடுகளின் பயன்கள் இன்றியமையாதவையாகும். சமன்பாடுகளுக்கேற்ப வரையப்படும் வளைகோடுகள், அச்சமன்பாடுகளின் இயல்புகளைத் தெளிவுபடுத்துகின்றன. வளைகோடுகளின் அமைப்பிற்கேற்பவோ, கண்டுபிடித்தவர்களின் பெயர்களைக் கொண்டோ வளைகோடுகளுக்குப் பெயர்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இவ்வளைகோடுகளில், குறிப்பிடத்தக்க சில வளைகோடுகள் சிறப்பு வளைகோடுகள் (special curves) எனப்படுகின்றன. நியூட்டன், ஆயிலர், பெர்னோலி, காசினி, பாஸ்கல், டேகார்ட்டே, ஹீயூகன்ஸ், கலீலியோ ஆகியோர் ஒரு சில சிறப்பு வளைகோடுகளை உருவாக்கியர்களாவர். முப்படி பரவளை. y = ax³ + bx² + cx + d அல்லது y = ax² (x-e) என்னும் சமன்பாடுகளுக்கு வரையப்படும் வளைவு முப்படி பரவளை (cubical parabola) ஆகும். y = ax³—க்கு வரையப்படுவது சிறப்பு வகையாகும். படம் (1). அரை முப்படி பரவளை (semi cubical parabola). சமன்பாடு y²= a (x-b)³ இல், y இன் இருபடித்தான உறுப்புகள் மட்டுமே உள்ளமையால், y அச்சு, சமச் சீரச்சு, வளைகோடு ஆகியவை (b, o) என்னும் புள்ளி வழியே செல்லும் (படம் 2 a), x² = ay³ என்னும் சமன்பாட்டுக்கு வரையப்படும் வளைவு படம் (2 b)இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பரவளையத்தின் வளைவு மையப் பாதை (evolute) அரை முப்படிப் பரவளையமாக அமையும். சிஸ்ஸாய்டு வளை (cissoid curve). y² = ; r = 2a tanθ sinθ ஆகிய சமன்பாடுகளுக்குக் கிடைக்கும் வளைவுகள் (படம் 3) சிஸ்ஸாய்டு வளை எனப்படும். இவ்வளையும் அரை முப்படிப் பரவளையும் தோற்றத்தில் ஒத்திருந்தாலும், அரைமுப்படிப் பரவளைக்கு அணுகு கோடு (asymptote) இல்லை. ஆனால் சிஸ்ஸாயிடின் அணுகு கோடு x = a ஆகும். இவ்வளைகோடு X அச்சில் சமச் சீராக ஆதி வழியே செல்லும். ஆதி இதற்கு ஒரு கூர்புள்ளி (cusp) ஆகும். நான்கு கூருடைய அக உருள்வளை (four cusped hypocycloid) x^\frac{2}{3} + y^\frac{2}{3} = a^\frac{2}{3} என்னும் சமன்பாட்டிற்கு, இரு அச்சுகளிலும் சமச் சீராக அமையும் வளைகோட்டிற்கு (a, o), (o, a) என்பவை கூர் புள்ளிகள் ஆவதால், [(±a, o), (0, ± a)] என நான்கு கூர் புள்ளிகள் கிடைக்கும். எனவே இவ்வளைவு நான்கு கூருடைய அக உருள்வளை எனக் குறிக்கப்படுகிறது படம் (4 a). x, y அச்சுகள் இப்புள்ளிகள் வழியே செல்லும் தொடுகோடுகளாகும். அஸ்ட்ராய்டு (astroid) எனவும் கூறப்படும் இவ்வளைவுக்கு, வளைவு மாற்றப் புள்ளிகளோ அணுகு கோடுகளோ இல்லை. மேலும் ஒரு வட்டத்தின் வட்ட வரையின் மேலேயே நழுவாமல், ஒட்டினாற் போல மற்றொரு வட்டம் உருண்டு வருமானால், அந்த உள்வட்டத்தின் மேல் உள்ள புள்ளி ஒன்றின் நியமப் பாதை இவ்வளைகோடாகும். உள் வட்டத்தின் ஆரை வெளி வட்ட ஆரையில் கால் பங்கு ஆகும். உள் வட்ட ஆரை, வெளி வட்ட ஆரையில் மூன்றிலொரு பங்கானால் படம் (4 b) இல் உள்ளது போல் வளைவு அமையும். உருளும் வட்டம், முதல் வட்டத்தின் மேலேயே உருண்டு வருமானால், அதன் மேலுள்ள ஒரு புள்ளியின் நியமப் பாதை, புற உருள் வளை (epicycloid) எனப்படும். உருளும் வட்டத்தின் ஆரை, முதல் வட்டத்தின் ஆரைக்குச் சமமானால்,படம் 4c இல் உள்ளது. போலும், பாதியானால், படம் 4d இல் உள்ளது போலும் வளை கோடுகள் அமையும். இவ்விரு வட்டங்களின் ஆனரகளின் விகிதம் வெவ்வேறு அளவுடையதானால், அழகிய வடிவமுடைய வெவ்வேறு வளைகோடுகள் கிடைக்கும். உருளும் வட்டத்தின் மேலுள்ள புள்ளியின் மையப் பாதையைக் கணக்கிடாமல், வட்டத்தின் உள்ளே இருக்கும் ஒரு புள்ளியின் மையப் பாதையைக் கணக்கிட்டு வரைந்தால், படம் 4e, 4fஇல் உள்ளது போன்ற புற உருள் வட்டங்கள் (epicycles) அமைகின்றன. அகனேசியின் வளை (witch of agenesi). படம் 5இல் காட்டியுள்ள வளைகோடு y(x² +a²) = a³ என்னும் சமன்பாட்டிற்கு வரையப்பட்டதாகும். y—அச்சில் சமச் சீராக உள்ள இவ்வளைவின் தொடு கோடு y=0 ஆகும். ஸ்ட்ரோஃபாய்டு வளைகோடு (Strophoid curve). இது y^2 = \frac{x^2(a-x)}{(a+x)} க்கு வரையப்படும் வளைவாகும் (படம் 6). இதற்கு ஆதி ஒரு கணுப்புள்ளியும் (node), y = ±x என்பவை தொடுகோடுகளுமாகும் (படம் 6). உருள்வளை (cycloid). குறிப்பிட்ட ஒரு நேர் கோட்டின் மேல் பொருந்தியவாறு உருளும் வட்டத்தின் மேலுள்ள ஒரு புள்ளியின் நியமப் பாதை உருள் வளை எனப்படும் (படம் 7a). உருள் வளையின் சமன்பாடுகள் x = a(θ-sinθ), y = a (1-cosθ). வட்டத்தின் மேலுள்ள புள்ளியைக் கணக்கிடாமல், இவ்வட்டத்துடன் தொடர்பு கொண்ட நிலையான மற்றொரு புள்ளியின் நியமப் பாதை, சில்லுரு (trochoid) எனப்படும். புள்ளி வட்டத்தின் உட்புறம் இருந்தால், படம் 7b போலவும், வட்டத்தின் வெளிப்புறம் இருந்தால், படம் 7C போலவும் வளைகோடு அமையும். டேகார்ட்டின் ஃபோலியம் (folium of descarte). x³ + y³ = 3axy என்னும் சமன்பாட்டிற்கு மெய்யான ஓர் அணுகு கோடு x + y + a = 0 உள்ள வளைகோடு டேகார்ட்டின் ஃபோலியம் என்பதாகும் (படம் 8). இங்கு X-க்கு 0, என இரு மதிப்புகளிருப்பதால், (0,0) என்பது வளைகோட்டின் இரட்டைப் புள்ளி; (- , ) என்பது அதன் மேலேயே உள்ள இரண்டாம் புள்ளியாகும். சமன்பாட்டில் x, y இரண்டின் மதிப்பும் குறை (negative) ஆனால், வளைகோடு கற்பனையாகும். சங்கிலியம் (catenary or chainette). y=a cosh அல்லது என்னும் சமன்பாட்டிற்கு வரையப்படும் வளைவு, சங்கிலியம் எனப்படும். ஒரு சீரான கனத்த சங்கிலி, ஈர்ப்பு விசையால் இழுக்கப்படும் போது, இவ்வளைகோட்டு வடிவில் அமைவதால், இதற்குச் சங்கிலியம் எனப் பெயரிடப்பட்டது (படம் 9). சமன்பாட்டில் x-க்குப் பிரதியாக (-x)ஐ ஈடு செய்யும் போது, y இன் மதிப்பு மாறாமையால், வளைகோடு y-அச்சில் சமச்சீராக உள்ளது. சங்கிலியம் ஓர் அதிபரவளைய சார்பலன் (hyperbolic function) ஆகும். முப்பகுதியாக்கி (trisectrix). ஒரு கோணத்தை முப்பகுதியாகப் பிரிக்கும் தொடர்பாகக் கண்டு பிடிக்கப்பட்ட இவ்வளைகோட்டின் சமன்பாடுகள் y^2 = \frac{x^2 (3a+x)}{a-x} அல்லது y^2 (a+x) = x^2(3a-x) அல்லது r = a sec\theta - 4a cos\theta = 2a \frac {sin3\theta}{sin2\theta} ஆகும் (படம் 10). x-அச்சில் சமச்சீராக உள்ள இவ்வளை கோட்டிற்கு ஆதி ஒரு கணுப்புள்ளியாகும். x + a = 9 என்பது ஒரே ஓர் அணுகுகோடு; 0r = e^{a\theta} அல்லது logr a=θ என்னும் சமன்பாட்டிற்கு வரையப்படும் வளைகோடு (படம் 16) மடக்கைச்சுருள் (logarithmic spiral) என்பதாகும். இதன் தொடுகோடு அதன் ஆரைத் திசையியோடு (radius vector) எப்போதும் ஒரே கோணத்தை உண்டாக்குவதால், இவ்வளைகோடு சமகோணச் சுருள் (equiangular spiral) என்றும் குறிக்கப்படும். x = \frac{a}{\sqrt2}\int_0^\nu \frac{cos\nu d \nu}{\sqrt \nu}, y = \frac{a}{\sqrt2}\int_0^\nu \frac{sin\nu d \nu}{\sqrt \nu} என்னும் அமைப்பிற்கு வரையப்பட்ட வளைவு, ஆயிலர் 1744இல் கண்டுபிடித்ததாகும். (படம் 17 ) இவ்வளைவு, ஆயிலர் சுருள், கார்னு சுருள், கிளாட்டாய்டு என்னும் பெயர்களால் குறிக்கப்படுகின்றது. நெஞ்சுவளை (cardioid). r =a (1 + cosθ) என்னும் சமன்பாட்டிற்கு வரையப்படும் வளைகோடு தொடக்கக் கோட்டில் சமச் சீராக இருந்தால், 0≤ θ ≤ π, என்னும் இடைவெளியில் மட்டும் rஇன் மதிப்புகளைக் கண்டு பிடித்து வரையப்படும் வளைகோடு நெஞ்சுவளை எனப்படும். (படம். 18) லிமாகான் வளை (limacon). r = acosθ + c என்னும் சமன்பாட்டிற்கு வரையப்பபடும் வளைகோடு லிமாகான் வளையாகும். சமன்பாட்டில் c = a ஆனால், நெஞ்சுவளை கிடைக்கும். cஇன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு வளைவுகள் படம் 19இல் வரையப்பட்டுள்ளன. பாஸ்கல் என்பார் இதைக் கண்டுபிடித்தமையால், இவ்வளைவு பாஸ்கலின் லிமாகான் எனப்படுகிறது. கப்பாவளை (Kappa curve) படம் 20 இல் r = atanθவுக்கு அமைக்கப்பட்டுள்ள கப்பா வளை கோட்டிற்கு, θ = 0 தொடுகோடாகவும், θ = ± இரு அணுகு கோடுகளாகவும் அமைகின்றன. இவ்வாறாக, பல சமன்பாடுகளுக்கு வளைகோடுகள் வரையலாம். right|—பங்கஜம் கணேசன்}