சார்பியலின் சிறப்புக் கொள்கையுடன் ஒத்துப் போகிற துகள் குவாண்டம் கோட்பாடு சார்புக் குவாண்டம் கோட்பாடு (relativistic quantum theory) எனப்படும். அது ஒளியின் திசை வேகத்திற்கு நெருங்கிய திசை வேகங்களில் தன்னிச்சையாக இயங்கிக் கொண்டிருக்கிற துகள்களை விவரிக்கும். குவாண்டம் புலக்கொள்கை மட்டுமே நிறைவு தரும் சார்புக் குவாண்டம் கொள்கையாக இருப்பதாக இப்போது உணரப்பட்டிருக்கிறது. ஒற்றைத் துகளின் அலைச் சார்பெண்ணுக்கான சுரோடிஞ்சர் சமன்பாட்டைச் சார்பியலாக்கச் செய்த முயற்சிகள் தோல்வி அடைந்திருக்கின்றன. ஆனாலும், விளக்கங்களை மாற்றியமைத்தால், சார்பியல் அலைச் சார்புகள், ஒரு மின் காந்தப் புலத்தில் துகள் இயக்கங்களின் சில கூறுகளைச் சரியாக விளக்கவே செய்கின்றன.மாறாமை (invariance). |ψ(r,t)|² என்பது ஒரு துகளை r என்ற புள்ளியில் t என்ற நேரத்தில் காண்பதற்கான நிகழ்தகவு அடர்த்தி ஒரு துகளின் ψ(r,t) என்ற அலைச் சார்புக்கான சுரோடிஞ்சர் சமன்பாடு Eψ=H(p,r)ψ ஆகும். (1) இதில் E என்பது ih(∂/∂t) என்ற ஆற்றல் செயலி. p என்பது ih▽ என்ற உந்தச் செயலி. H(p,r) என்பது பழங்கொள்கையிலான ஹாமில்டோனியன். வெற்றிடத்திலுள்ள ஒரு சார்பியலற்ற துகளுக்கு H=p²/2m (1)ஆம் சமன்பாட்டைச் சார்பியலாக்க என்ற சார்பியல் ஹாமில்டோனியனைப் பயன்படுத்துவது எளிமையான வழியாகும். முதற் சமன்பாடு, (2)ஆம் சமன்பாட்டுடன் சேர்ந்து அதிர்வெண், அலை எண் ஆகியவற்றுக்கிடையிலும், அதாவது ஆற்றல், உந்தம் ஆகியவற்றுக்கிடையிலுமான சரியான சார்பியல் உறவை அளிக்கிறது என்றாலும், அந்தச் சமன்பாடு தன்னளவில் சார்பியல் தன்மையில் மாறிலி அன்று. E,p ஆகியவை அதில் சார்பியல் மாறிலிகளாக இடம் பெறாமையே இதற்குக் காரணம். மேலும், ஒரு கடும் சிக்கல் உண்டு. t=0 என்ற நேரத்தில் ஒரு துகள் r=0 என்ற இடத்தில் அமர்ந்திருப்பதாகக் கொள்ளலாம். அதாவது r≠0 என்ற நிலையில் ψ(r,0) =0. (1), (2) ஆகிய சமன்பாடுகளிலிருந்து, அதற்குப் பிந்திய எந்த நேரத்திலும், r இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ψ(r,t)≠0 எனக் காட்ட முடியும். ஆனால், சார்பியல் கொள்கையின்படி, துகள் ஒலியின் திசை வேகமான cஐ விட அதிகமான திசை வேகத்துடன் பயணம் செய்திருக்க முடியாது. எனவே, r>ct எனில், ψ(r,t) சுழிக்குச் சமமாகத்தான் இருக்க வேண்டும். கிளெய்ன்—கோர்டன் (Klein-Gordon) சமன்பாடு. மேற்காணும் குறைகள் இல்லாத ஒரு சமன்பாட்டைக் கிளெய்ன், கோர்டன் ஆகியோர் உருவாக்கியுள்ளனர். அது பின்வருமாறு: ஆனால், இச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிற φ(r,t) ஓர் அலைச் சார்பாக இருக்க முடியாது. அதற்கு ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புள்ள இரண்டு காரணங்கள் உள்ளன. (அ) (3)ஆம் சமன்பாடு ∂/∂tஇல் இரண்டாம் வரிசை (second order) ஆனது. எனவே φ இன் எதிர்கால மதிப்புகளைக் காண φ(r,0) மட்டுமன்றி ∂φ/∂t உம் தேவை. (ஆ) φஇலிருந்து உருவாக்கப்பட்ட ஓர் அழியாத் தன்மை கொண்ட அளவின் அடர்த்தி பின் வரும் உருவத்தைக் கொண்டே இருக்க முடியும். ஆனால், இது ஒரு நிகழ்தகவு அடர்த்தியாக இருக்க முடியாது. ஏனெனில் இது உறுதியான நேரினம் (definite positive) அன்று φ க்குப் பதிலாக φ*ஐப் பயன்படுத்தும்போது அதன் குறி மாறி விடுகிறது. ஆனால் 4ஆம் தொடர்பில் உள்ள ρ அலகு மின் eஆல் பெருக்கும் போது, அது மின் அடர்த்தியாக ஆகி விடுவதாக விளக்கம் தரலாம். அப்போது m நிறையும், e மின்னும், உள்ள தற்சுழற்சி இல்லாத குவாண்டங்களை உடைய ஒரு குவாண்டமாக்கப்பட்ட புலத்தின் புலச் செயலி (field operator)Φஇன் அணிக்கூறாக (matrix element) ρஐ விளக்க வேண்டியிருக்கும். (3)ஆம் சமன்பாட்டுக்கு Φ(r,t) கீழ்ப்படிகிறது. எனவே அதன் அனைத்து அணிக் கூறுகளும் 3ஆம் சமன்பாட்டிற்குக் கீழ்ப்படியும். இது ஒரு மின்காந்தப் புலத்தைப் பொறுத்தும் உண்மையாயிருக்கும். அங்கு (3), (4), ஆகிய சமன்பாடுகளைப் பின் வருமாறு மாற்றி அமைக்க வேண்டும். இங்கு Φ(r,t), A(r,t) ஆகியவை முறையே மின் காந்தப் புலத்தின் ஸ்கேலார் மற்றும் வெக்டார் மின்னழுத்தங்கள் ஆகும். ஒரு நிலை மின்புலத்தில் ρஇன் தற்சிறப்பியல்பு நிலைகளை (eigen states) வழக்கமான முறையிலேயே கண்டு பிடிக்கலாம். இதன் மூலம் ஓர் அணுக்கருவின் மின்புலத்திலுள்ள π மெசான் போன்ற மின்னுள்ள, ஆனால், தற்சுழற்சியில்லாத துகள்களின் ஆற்றல் மட்டங்களைத் துல்லியமாகக் கணக்கிடலாம். ஆனாலும், துகள் தன்னுடனும் அதைச் சுற்றி இருப்பதாக ஏற்றுக் கொள்ளப்பட்ட துகள்களுடனும் நிகழ்த்துகிற மின்காந்தப் பரிமாற்று வினைகளின் காரணமாக ஏற்படுகிற கதிர்வீசுத் திருத்தங்கள், துகளின் உள்ளார்ந்த கட்டமைப்பு ஆகியவற்றின் விளைவுகளால் ஆற்றல் மட்ட மதிப்புகளில் பிழை ஏற்படலாம். டிராக் சமன்பாடு. டிராக் (1)ஆம் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு சார்பியலாக்கப்பட்ட உருவைக் கண்டுபிடித்தார். அது Eஇல் நேர்கோட்டுத் தன்மை கொண்டிருக்கிறது. அதற்கு ஒரு நேரின உறுதியான அடர்த்தி உருவமும் (positive definite density) பின்வருமாறு உள்ளது. இதில் β,α ஆகியவை மாறிலிகள். அவை பின் வரும் சமன்பாடுகளுக்குக் கீழ்ப்படிகின்றன. இச்சமன்பாட்டை மீண்டும் செயல்படுத்தினால், பின் வரும் சமன்பாடு கிடைக்கிறது. இது கிளெய்ன்—கோர்டன் சமன்பாடாகும் இதன் மூலம் துகளின் ஆற்றலும், உந்தமும் சரியான முறையில் உறவு கொண்டிருப்பது உறுதியாகிறது. β,αi ஆகிய மாறிலிகள் முழு எண்களாக இருக்க முடியா என்பது வெளிப்படை. ஆனாலும் இவை 4 ×4 கூறுகளுள்ள அணிகளாக இருக்க முடியும். அப்போது ψ என்பது ஒரு நான்கு ஆக்கக் கூறுகள் கொண்ட டிராக் ஸ்பினார் (Dirac spinor) எனப்படும் தற்சுழற்சி வெக்டார் ஆகி விடும். 6 என்ற டிராக் சமன்பாட்டின் சமதளத் தீர்வுகளை எடுத்துக் கொள்ளலாம். ρக்கு p என்ற தற்சிறப்பியல்பு மதிப்பு உள்ளது. 6 ஆம் சமன்பாட்டை Eக்கான ஒரு தற்சிறப்பியல்புச் சமன்பாடாகக் கருதினால், நான்கு தற்சிறப்பியல்பு நிலைகள் கிடைக்கின்றன. ஏனெனில் H ஒரு 4×4 அணியாகும். இந்தத் தற்சிறப்பியல்பு நிலை இரண்டில் E=+\sqrt{(mc)^2 + p^2c^2} என்ற மதிப்பும் ஏனைய இரண்டில் E=-\sqrt{(mc)^2 + p^2c^2} என்ற மதிப்பும் இருக்கும். இவற்றில் இரண்டு நேரின ஆற்றல் நிலைகள், ½h என்ற தற்சுழற்சியுள்ள ஒரு துகளின் இரண்டு தற்சுழற்சி நிலைகளாக விளக்கப்படுகின்றன. உண்மையில் தற்சுழற்சிக் கோண உந்தத்தைக் குறிப்பிடுகிற ஒரு செயலியை αஇலிருந்து அமைக்கலாம். எஞ்சியுள்ள இரண்டு எதிரின ஆற்றல் நிலைகளை விளக்க இயலாது. ஒரு நேரின ஆற்றல் நிலையிலுள்ள துகளை எடுத்துக் கொண்டு கணக்கிடத் தொடங்கினாலும், அது விரைந்து எதிரின ஆற்றல் நிலைகளின் வழியாகக் கதிர் வீசல் மாற்றங்களை அடைந்து விடும். இச்சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்காக டிராக் ஒரு கருத்தை வெளியிட்டார். அதன்படி ψஇனால் விரிக்கப்படும் துகள், பாலியின் தவிர்க்கை விதிக்குக் கீழ்ப்படிவதாக இருந்தால், அனைத்து எதிரின ஆற்றல் நிலைகளும் துகள்களால் நிரப்பப்பட்டன எனவும், அவற்றில் மேலும் துகள்கள் நுழைய வழியில்லை எனவும் வைத்துக் கொள்ளலாம். P என்ற குறிப்பிட்ட உந்தத்திற்கு நான்கு ஒற்றைத் துகள் நிலைகள் இருக்கின்றன. அவற்றில் இரண்டு நேரின ஆற்றல் கொண்ட ஒரு துகளின் தற்சுழற்சி நிலைகள். ஏனைய இரண்டும் -P என்ற உந்தம் கொண்ட ஓர் எதிரின ஆற்றல் துகளைக் கழித்ததால் கிடைக்கும் நிலைகள், இவை இரண்டும் துளை நிலைகள் (hole states) எனப்படும். இவை நேரின ஆற்றலும், துகளின் மின்னுக்கு எதிரான குறியுள்ள மின்னும் கொண்டவை என்பதால், உண்மையில் ஓர் எதிர்த் துகளே. நுகள் எலெக்ட்ரானாக இருந்தால், துளை பாசிட்ரானாகும். ஆனால் எதிரின ஆற்றல் நிலைகள் நிரம்பி விடும் போது, ஒற்றைத் துகள் அமைப்புகள் ஏற்படுவதில்லை. ψஐ ஓர் அலைச் சார்பாகக் குறிப்பிடவும் முடியாது.அதற்குப் பதிலாக இதை ψ என்ற ஒரு புலச் செயலியின் அணி ஆக்கக் கூறாகத்தான் விளக்க முடியும். 5ஆம் சமன்பாட்டிலுள்ள திருத்தங்களுடன் கூடிய 6ஆம் சமன்பாடு ஒரு மின் காந்தப் புலத்தில் உள்ள, ½h தற்சுழற்சி கொண்ட மின் துகளின் தற்சிறப்பியல்பு நிலைகளுக்குச் சரியான மதிப்புகளைத் தருகிறது. கதிர்வீசு திருத்தங்கள், உள்ளார்ந்த கட்டமைப்புகள் ஆகியவற்றின் விளைவுகளைக் கணக்கிலெடுத்துக் கொள்ளாத போதே, இக்கூற்று உண்மையாகும். உள்ளார்ந்த கட்டமைப்பால் ஏற்படும் விளைவுகள் புரோட்டான் போன்ற ஹேட்ரான்களில் மட்டுமே காணப்படும். எலெக்ட்ரான், மியுவான் போன்ற துகள்களில் காணப்படாத கதிர் வீசு திருத்தங்களைச் சேர்க்காமல் எலெக்ட்ரான்களுக்கும், மியுவான்களுக்கும் டிராக் திருப்புத் திறன் எனப்படுகிற காந்தத் திருப்புத் திறனுக்குச் சரியான மதிப்பைக் கணக்கிட முடிகிறது என்பது ஒரு முக்கியத்துவம் வாய்ந்த உண்மையாகும். ½h தற்சுழற்சியுள்ள, நிறையில்லாத ஒரு துகளுக்கு, டிராக்கின் (6ஆம்) சமன்பாட்டில் β இடம் பெறுவதில்லை. αi, 2x2 அணிகளாகவே இருப்பதால், βஐப் புறக்கணித்துவிட்டு, 7ஆம் சமன்பாடுகளில் உள்ள நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்து விடலாம். அப்போது துகளும், அதன் எதிர்த் துகளும் ஒரே ஒரு தற்சுழற்சி நிலை மட்டுமே கொண்டவையாயிருக்கும். ஆனால் துகள் ½h என்ற தற்சுழற்சியைப்பெற்றிருக்கும் எனக் காட்ட முடியும். துகளின் தற்சுழற்சி அதன் உந்தத்திற்கு இணையாகவும், எதிர்த் துகளின் தற்சுழற்சி அதன் உந்தத்திற்கு எதிரிணையாகவும் மட்டுமே இருக்கும். ஒரு தலைகீழாகப் புரட்டப்பட்ட ஆய அமைப்பில், இந்தக் கூற்றுகள் நேர்மாறாக இருக்கும். இவ்வாறு இரட்டை ஆக்கக் கூறுகள் கொண்ட டிராக் சமன்பாடு வெளி (space) தலை கீழாகும் போது, மாறாமல் இருப்பதில்லை. Ύ, Ύ என்ற இரண்டு நியூட்ரினோக்கள் மட்டுமே ½h தற்சுழற்சியுள்ள நிறை இல்லாத துகள்களாகத் தெரிகின்றன. அவை மேற்காணும் சுருக்கமான டிராக் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கின்றன. இதை விட, அதிகமான தற்சுழற்சியுள்ள துகள்களுக்கான அலைச் சமன்பாடுகளும் இருக்கின்றன. 1h என்ற தற்சுழற்சியுள்ள, நிறையில்லாத துகள்களுக்கான மாக்ஸ்வெல் சமன்பாடுகளை இதற்குச் சிறந்த சான்றுகளாகக் கூறலாம். தற்சுழற்சி அதிகமாக, அதிகமாக அச்சமன்பாடுகள் அதிகச் சிக்கலானவையாகின்றன. தற்சுழற்சி ≥1h ஆக இருக்கும் போது, ஒரு கட்டமைப்பில்லாத துகள் மின் காந்தப் புலத்துடன் நிகழ்த்துகிற பரிமாற்று வினை ஒப்பற்றதாகவோ, தனித்தன்மை வாய்ந்ததாகவோ தெரிவதில்லை. எனவே காந்தத் திருப்புத் திறன் கணக்கிடப்படுவதில்லை. —கே.என். ராமச்சந்திரன்