செயலி (இயற்பியல்) குவாண்டம் எந்திரவியலில் இயற்பியல் அளவுகளும், உந்தம், ஆற்றல் ஆகியவையும், ஆயங்களும் செயலிகள் (operators) அல்லது அணிகளால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக p என்னும் உந்தம் \frac{2\pi i} {\hat h} \frac{\partial}{\partial q} என்னும் செயலியால் குறிப்பிடப்படும். அது ψ என்னும் அலைச் சார்பின் மேல் செயல் படும் போது, \frac{2\pi i} {\hat h} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial q} என்றாகும். குவாண்டம் எந்திரவியலில் இருப்பிடம், உந்தம், ஆற்றல் போன்ற இயற்பியல் அளவுகளை, ஒரு குறிப்பிட்ட அளவுக்கு மேல் துல்லியமாக அளவிட முடியாது. தொடக்க நிலை அமைப்புகளின் அடிப்படை விதியாக விளங்குகிற ஐயப்பாட்டுக் கொள்கையே, இதற்குக் காரணம். இயற்பியல் அளவுகளின் இரண்டு பரிமாற்று இரட்டைகளை அளவிடுவதில் ஏற்படக் கூடிய சிறும ஐயப்பாடு பின்வருமாறு: block_center| \Delta \times \Delta p_x = \frac {\hat h}{2} அல்லது \Delta E \Delta t = \frac {\hat h}{2} Δx, Δpx , ΔE, Δt ஆகியவை முறையே இருப்பிடம், உந்தம், ஆற்றல், நேரம் ஆகியவற்றில் ஏற்படக் கூடிய ஐயப்பாடுகள் ஆகும். இத்தகைய ஐயப்பாடுகள் காரணமாகக் குவாண்டம் கொள்கையிலுள்ள இயற்பியல் மாறிகள் அவற்றின் சராசரி மதிப்புகள் அல்லது வாய்ப்புள்ள (probable) மதிப்புகளின் அடிப்படையில் குறிப்பிடப் படுகின்றன. தகுந்த இயல் கணிதச் செயலிகளின் உதவியுடன், இயற்பியல் அளவுகளின் சராசரிகளைக் கண்டு பிடிப்பது எளிதானது. இச்செயலிகள் தக்க அலைச் சார்புகளின் (நற்சிறப்பியல்புச் சார்புகளின்) மேல் செயல்பட்டுச் செயலிகளின் தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகளை அளிக்கின்றன. ‘F’ என்னும் அலைச் சார்பு, ஒரு குறிப்பிட்ட நிலையில் ஓர் அமைப்பை இடம் காண்பதற்கான நிகழ் தகவை அளிக்கிற ஒரு நிகழ் தகவு விளக்கம் கொண்டுள்ளது. அது விவரிக்கிற அமைப்பைப் பற்றிய அனைத்துத் தொடர்புடைய தகவல்களும், அதில் அடங்கியுள்ளன எனக் கொள்ளலாம். இரண்டு அமைப்புகள் ஒரே நிலையில் இருக்குமென்று கூறி விட முடியாது. ஆனால், அவற்றை இயற்பியல் தன்மையில் அளவிடக் கூடிய வாய்ப்புகள் சமமாக இருக்கும். ஓர் அமைப்பின் ஒவ்வொரு நிலையையும், விவரிக்க ஓர் அலைச் சார்பு வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த அலைச் சார்பு ஒரு வகுப்பாக அமையும். தனித் தனியாக அல்லது ஒரே வகுப்பாக, அலைச் சார்புகளின் மேல் ஒரு கணிதச் செயல் நடைபெறும் போது, அச்செயல்களின் விளைவுகளைக் கண்டுபிடிக்கச் செயலி முறைகள் உதவுகின்றன. செயலி என்பது ஒரு சார்பின் மேல் செயல்பட்டு, அதை வேறு ஒரு சார்பாக மாற்றி விடக் கூடிய ஒரு கணிதச் செயல் முறையில் பயன்படுத்தப் படுகிற ஒரு கணித அளவு ஆகும். Sinkx, eikx அல்லது x² போன்ற ஒரு சார்பாக ψ(x) கருதலாம். அதை d/dx, x அல்லது c-இனால் பெருக்குவது என்னும் கணிதச் செயலை நிகழ்த்தினால், ψ(x) வேறு சார்புகளாக மாறி விடுகிறது. d/dx,x,c ஆகியவை ψ(x) இன் செயலிகள் எனப்படும். ψ(x) என்பது செயப்படு சார்பு (operand) d/dx-ஆல் பெருக்கும் போது, x என்னும் மாறியைப் பொறுத்த வகையீட்டுச் செயல் விளைகிறது. ஏனைய இரண்டும், x என்னும் மாறி அல்லது c என்னும் மாறிலியால் எளிய பெருக்கல் செயல்களேயாகும். ஒரு கணிதச் செயலைக் குறியீட்டு முறையில் பின்வருமாறு எழுதலாம். இங்கு Aop என்பது Ψ(x)இன் மேல் செலுத்தப்படும் ஏதோ ஒரு செயலி. Φ(x) என்பது, அதனால் விளைந்த சார்பு. தோற்றங்கள். 1. Ψ என்னும் சார்பின் மேல் α, β ஆகியவை செயல் பட்டால்,block_center|αΨ(x) + βΨ(x) = (α + β)Ψ(x) எடுத்துக் காட்டாக, α = , β = x எனலாம். அப்போது \frac {d \psi (x)}{dx} + x \psi (x) = \big( \frac {d}{dx} + x \big) \psi (x) ஆகவே, செயலிகளுக்கு இயல் கணித அளவுகளுக்கு உள்ளதைப் போன்ற கூட்டல் பண்புகள் உள்ளமை தெளிவாகிறது. 2. சார்பின் மேல் முதலில் αஉம் பின்னர், βஉம் செயல்படுமானால், block_center|x \frac{d}{dx}[\psi(x)] = x \frac{d\psi(x)}{dx} ஆனால், முதலில் β செயல்பட்டு, அதன் பின்னர் α செயல்பட்டிருந்தால், block_center|x \frac{d}{dx}[x \psi(x)] = x \frac{d\psi(x)}{dx} + \psi(x) ஆகவே, பொதுவாக αβ ≠ βα என்று தெரிகிறது. ψ( x) சுழியை அணுகும் போது, இரண்டும் சமமாக இருக்கலாம். இயல் கணிதத்தில் சாதாரணமான எண்களுக்குப் பொருந்தும் பெருக்கல் விதிகளிலிருந்து, பெருக்கல் செயலிகளுக்கான விதிகள் வேறு பட்டவை. ஆனால், ( αβ)○p ψ( x) = ( αβ)○p ψ( x) + I○p ψ( x). இங்கு I○p என்பது அலகு செயலி (unit operator) எனப்படும். I○p ψ( x) = ψ( x). இத்தகைய அலகு செயலால் (identity operation) சார்பு மாற்றப்படுவதில்லை. A○p ψ( x) = 0 என்னும் வகையில் செயப்படு சார்பெண்களைச் சுழியாக்கும் செயலி, சுழிச் செயலி (null operator) எனப்படுகிறது. தலைகீழ்ச் செயலிகள் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன. A○p B○p = B○p A○p = I○p எனில், A = B○p அல்லது B = A○p Φ(x) = Aψ(x) எனில், Φ(x)இன் மேல் செயல்படும் தலைகீழ்ச் செயலியைப் பொறுத்தும் ψ(x)ஐப் பெற முடியும். ψ(x) = AΦ(x) ஒரு தலைகீழ்ச் செயலியைப் பெற்றுள்ள இத்தகைய செயலிகள் ஒற்றையல்லாத (non-singular) செயலிகள் எனப்படும். ஆனால் செயலின் விளைவு சுழி எனில், அதாவது A○pψ(x) = 0 எனில், A○p க்குத் தலை கீழ்ச் செயலி இல்லை. A○p ஒற்றையானது. ஏனெனில், அதிலிருந்து விளையும் சார்பின் தலை கீழ் மதிப்பிலிருந்து ψ(x)ஐ உருவாக்க முடியாது. பரிமாற்றிகள் (Commutators). (αβ–βα) என்னும் செயலி α, β ஆகியவற்றின் பரிமாற்றி எனப் படும். இவ்வாறு (x -xsfrac|d|dx} ) என்பது sfrac|d|dx}, x ஆகியவற்றின் பரிமாற்றி, \begin{align}\frac{d}{dx} \times \big[ \psi (x) \big] = \big( x \frac{d}{dx} + 1 \big) \psi (x) \\[6pt] \big( \frac{d}{dx} x - x \frac{d}{dx} \big) \psi (x) = 1\psi (x) \quad & \end{align} என முன்னர்க் காணலாம். எனவே, block_center|\big( \frac {d}{dx}x - x\frac {d}{dx} \big) = 1 இங்கு பரிமாற்றி ஓர் அலகு வெக்டார். x, ஆகியவற்றின் பரிமாற்றி இதே போல, 1க்குச் சமமாக இருக்கும். நேர் போக்குச் செயலிகள். ஓர் அமைப்பை வரையறுக்கிற அலைச் சமன்பாடுகளை, மேற்பொருத்தல் அல்லது நேர் போக்கு இணைப்பு மூலம் உருவாக்கலால், குவாண்டம் கொள்கை ஒரு நேர் போக்குக் கொள்கை ஆகும். ஃபூரியர் தொகையீட்டு வடிவில் உள்ள ஒற்றை நிற ஆக்கக் கூறுகளின் ஒரு நேர் போக்குக் கூட்டாக ஓர் அலைப் பொதியை (wave packet) எழுத முடியும். அலை இயக்கவியலில் பயன் படும் செயலிகள், நேர் போக்குச் செயலிகள். அவற்றுக்குப் பின்வரும் பண்புகள் உண்டு. ψ₁(x), ψ₂(x) என்னும் தன்னிச்சையான செயல் படு சார்புகளுக்கு α(ψ₁ + ψ₂) = αψ₁ + αψ₂ எனில், α என்னும் செயலி நேர் போக்கானது. C என்னும் செயலிக்கு. C(ψ₁ + ψ₂) = Cψ₁ + Cψ₂ என வருகிறது. எனவே αC=Cα. இத்தகைய செயலிகள் நேர் போக்கு உள்ளவை. தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகளும், தற்சிறப்பியல்புச் சார்புகளும். குவாண்டம் கொள்கையின் அலைச் சார்பு மாறிகளின் நல்ல நடத்தையுள்ள சார்புகளே இன்றியமையாதவை. தொடர்ச்சி நிபந்தனைகளையும், நிபந்தனைகளையும் நிறைவு செய்பவையாக எல்லை இருக்க வேண்டும். அமைப்பின் நிலையில், இத்தகைய சார்பாக ψ(x) இருக்க, அதன் மேல் A என்னும் செயலி செயல்பட்டால், வரும் விளைவை Aψ(x)= aψ(x) என எழுதலாம். இங்கு a என்பது ஏதோ ஒரு பொதுவான கூட்டு எண், ψ(x), Aஇன் தற்சிறப்பியல்புச் சார்பெண் எனப்படும். செயலின் விளைவாக, அது a என்னும் எண்ணால் பெருக்கப் பட்டாலன்றி, மாறாமல் இருக்கும். a என்பது A செயலியின் தற்சிறப்பியல்பு மதிப்பு எனப்படும். குவாண்டம் எந்திரவியலின் செயலிகள். வெளி ஆயம், உந்தம் ஆகியவற்றின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்புகள் பின் வரும் சமன்பாடுகளால் கணக்கிடப்படுகின்றன. \begin{align} = \frac {\int \psi^{*}x \psi dx}{\int \psi^{*} \psi dx} \\ = \int\psi^{*}x \big( \frac{h}{i} & \frac {d}{dx} \big) \psi dx / \psi^{*}x \psi dx \end{align} முதல் சமன்பாட்டில் ψ(x) என்னும் அலைச் சார்பின் மேல் x–ஐச் செயல்படுத்தியும், இரண்டாம் சமன்பாட்டில், \big( \frac{h}{i}, \frac{d}{dx} \big)ஐச் செயல்படுத்தியும், இம்மதிப்புகள் கண்டு பிடிக்கப்படுகின்றன. இதே போல ஒரு துகளுக்கான சுரோடிஞ்சர் சமன்பாட்டைப் பின்வருமாறு எழுதலாம். block_center|- \frac{h^2}{2m}\cdot \frac {d^2\psi}{dx^2} + v(x) \psi = w\psi அல்லது\big[- \frac{h^2}{2m}\nabla^2 + v(x) \big] \psi = w\psi இவ்வாறு - \frac{h^2}{2m}\nabla^2 + v(x) என்பது ஓர் அமைப்பின் மொத்த ஆற்றலுக்கு நேரிணையான செயலி; இது பழங்கொள்கைப்படியான மொத்த ஆற்றலுக்கான \frac{p^2}{2m} + v(x) = w என்னும் ஹாமில்டன் கோவைக்கு நேரிணையானது. இவ்வாறு, H = \frac{p^2}{2m} + v(x) -\frac{d^2 \psi}{d y^2} + y^2 \psi = \lambda \psi என்னும் சீரிசை அலைவு இயற்றிக்கான கோவையிலிருந்து, λ என்னும் தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புக்குள்ள செயலியைப் பின்வருமாறு எழுதலாம். block_center|\big( -\frac{d^2}{d y^2} + y^2 \big) \psi = \lambda \psi எனவே, பழங்கொள்கைப்படியான இயக்கவியல் அளவுக்கு நேரிணையான ஓர் அளவு குவாண்டம் எந்திரவியல் கொள்கையிலும் உள்ளது என்பது தெளிவாகும். வெளி, உந்தம், ஆற்றல் ஆகியவற்றின் குவாண்டம் எந்திரவியல் செயலிகளால் இத்தொடர்பு நிறுவப்பட்டிருக்கிறது. இந்த ஒப்புமையைப் பின் வரும் பொதுவாக்கப்பட்ட எளிய கருது கோள்களாகச் சுருக்கிக் காணலாம். வெளி, உந்தம் ஆகியவற்றின் ஒவ்வொரு பழங்கொள்கைப் படியான சார்புக்கும் குவாண்டம் கொள்கையில் ஒரு சமமான குவாண்டம் எந்திரவியல் செயலி உள்ளது. அதாவது A○p = A(x, , ) A ஐ அளந்து A○pஇன் தற்சிறப்பியல்பு மதிப்பைப் பெறலாம். அது A○pஇன் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பாக இருக்கும். ψஇன் ஒரே மாதிரியான நிலையின் அமைப்பின் மொத்த மதிப்பு (ensemble) மேல் செய்யப்பட்ட ஓர் அளவீட்டு வரிசையின் விளைவாக இது இருக்கும். = \frac {\int \psi^{*} A_{\circ p} \psi dx}{\int \psi^{*} \psi dx} இந்தக் கருதுகோள்களை டிராக் என்பார் வெளியிட்டார். இவை பழங்கொள்கை எந்திரவியல் அளவுகளுக்கும், அவற்றுக்கு நேரான குவாண்டம் எந்திரவியல் அளவுகளுக்கும் இடையில் உள்ள ஒப்புமையின் பொதுவாக்கம் ஆகும். முப்பரிமாணமுள்ள நிகழ்வுகளுக்கும், திரளான துகள்கள் கொண்ட அமைப்பு- களுக்கும் இந்தக் கருதுகோள்கள் ஏற்றவை. இவ்வாறு A⚬pψ = λψ எனில், λ என்பது Ψ என்னும் நிலையின் A என்னும் செயலியின் தற்சிறப்பியல்பு மதிப்பு. ஹெர்மிசியன் செயலிகள். F என்பது ஒரு புலனாகிற இயற்பியல் அளவாக இருந்தால் Ψ என்னும் இயல்பாக்கப்பட்ட ஆற்றல் நிலைக்கு அது பின் வரும் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பை அளிக்கும். மெய்யான புலனாகும் அளவுகளில் இந்த எதிர் பார்ப்பு மதிப்புகள் இயல்பாக்கப்பட்டவையாகவும், மெய்யானவையாகவும் இருக்க வேண்டும். எதிர் பார்ப்பு மதிப்புகளில், சில ஒரு கூட்டு வடிவத்தை அளிக்கின்றன. வழக்கமான பொருளில் இவை புலனாகுபவையாகக் கொள்ளப்படுவதில்லை. வெக்டர் வடிவத்தில் < F > = (\stackrel \rightarrow \psi, F\stackrel \rightarrow \psi). வெக்டார்களின் ஒரு திசையிலி பெருக்கற் பலனில் உள்ளது போல (\stackrel \rightarrow \psi, F\stackrel \rightarrow \psi) = (F\stackrel \rightarrow \psi, \stackrel \rightarrow \psi) எனில், வரிசை எப்படியிருப்பினும், அது ஒரு பொருட்டானது அன்று. இந்த உறவுக்குக் கீழ்ப்படிகிற ஒரு நேர் போக்குச் செயலி, ஹெர்மிசியன் செயலி (hermitian operator) எனப்படும். இத்தகைய செயலிகள், மெய்யான தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகளை அளிக்கின்றன. ஒரே ஹெர்மிசியன் செயலியால், செயல் ஆற்றப்பட்ட பிறகு, தற்சிறப்பியல்புச் சார்புகள் இரண்டு தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகளை அளிக்குமானால், அவை செங்கோணச் சார்புகளாக இருக்கும். Ψ₁, Ψ₂ ஆகியவை, a என்னும் தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புக்கொண்ட A என்னும் ஒரு செயலியின் நேர் போக்குத் தன்மையில் தன்னிச்சையான தற்சிறப்பியல்புச் சார்புகளாக இருந்தால், இந்தச் சார்புகளின் ஒரு நேர் போக்கு இணைப்பும், Aஇன் ஒரு தற்சிறப்பியல்புச் சார்பாக இருக்கும். அதற்கும் a என்னும் ஒரு தற்சிறப்பியல்பு மதிப்பு உண்டு. சமத்துவச் செயலி (parity operator). இது ஒரு சிறப்பு வகையான கணிதச் செயலி. இது π என்னும் எழுத்தால் குறிக்கப்படும். Ψ(x) என்னும் ஓர் அலைச் சார்பெண்னின் மேல், இந்தச் செயலி செயல் பட்டால், அந்தச் சார்பெண் தன் ஆயங்களில் எதிர் பலிக்கப்பட்டு விடும். இவ்வாறு πΨ (x) = Ψ (-x) π–செயலி ஒரு நேர் போக்குச் செயலியாகும். அது ஹெர்மிசியன் தன்மையும் கொண்டது. அதன் தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகள் மெய்யானவை. —கே.என்.ராமச்சந்திரன் நூலோதி. B. N. Srivastava, Quantum Mechanics, Pragathi Prakashan, Meerut (India), 1972.