பகுப்பாய்வு (கணிதம்) கணிதத்தின் இன்றியமையாப் பிரிவான பகுப்பாய்வு (analySiS) எண்களின் கணம் (set of numbers) அல்லது வடிவயியல் புள்ளிகளின் கணம், எண்களிலிருந்து எண்களுக்கு அல்லது புள்ளிகளிலிருந்து புள்ளிகளுக்கு வரையப் படும் அமைப்பு மாற்றிகளின் (Maps) கணம், அவற்றின் எல்லை மற்றும் தோராயம் ஆகியவற்றை விளக்குகிறது. பகுப்பாய்வு நன்கு வளர்ச்சியடையத் தொடங்கிய காலத்திற்கு முன்பே, எல்லை மற்றும் தோராய நிகழ்வுசள் (approximation process) போன்றவை உருவாயின. இது பின்னர் 17,18ஆம் நூற்றாண்டுகளில், நியூட்டன், லெபினிட்ஸ் ஆகியோரால் வகை நுண் கணிதம் (differential calculus), தொகை நுண் கணிதம் (integral calculus) போன்றவற்றில் முறையாகப் பயன் படுத்தப் பட்டது. 19ஆம் நூற்றாண்டில் தோன்றிய அறிஞர்கள் ஒரு தனிச் சார்பின் (single function) மதிப்புகளினுடைய தொடரில், எல்லையைப் பயன் படுத்தினர். இயக்கவியலில் இருந்து வகை நுண் கணிதம், தொகை நுண் கணிதம், இயல்பான வகைக் கெழுச் சமன்பாடு, மாறுபாட்டு நுண் கணிதம் (Calculus of variation) போன்றவை தோன்றத் தொடங்கின. வெப்ப இயங்கியல், ஒலியியல் ஆகியவற்றிலிருந்து ஃபூரியர் தொடரும். ஒளியியல், நீரியல், இயங்கியல், மின்னியல் ஆகியவற்றிலிருந்து, கலப்பெண் பகுப்பாய்வும் (complex analysis), நெகிழ் திறனியல், நீரிய இயங்கியல், மின்னிய இயங்கியல் ஆகியவற்றிலிருந்து பகுதி வகைக் கெழுச் சமன்பாடும், (partial differential equation) தோன்றின. இப்பிரிவில் மெய் எண் பகுப்பாய்வு (real analysis), சிக்கலெண் பகுப்பாய்வு, தொடர் வகைக் கெழுச் சமன் பாடுகள், ஃபூரியர் பகுப்பாய்வு , மாறுபாட்டு நுண் கணிதம், சார்புப் பகுப்பாய்வு (functional analysis), திசையன் பகுப்பாய்வு (vector analysis), பண்புரு பகுப்பாய்வு (tensor analysis) ஆகியவை அடங்கும். மெய்யெண் பகுப்பாய்வு. இது மெய்யெண்ணின் தன்மையை விளக்கும் பகுதியாகும். எண், சார்பு, வகைக்cகெழுச் சமன்பாடு, அளவு, தொகை நுண் கணிதம் ஆகியவற்றை உள்ளடக்கியதாகும். சிக்கலெண் பகுப்பாய்வு. இது சிக்கலெண் மாறிகளின் (compiex variable) பகு முறைச் சார்புகளைப் (analysis function) பற்றி விளக்கும் பகுதியாகும். ஓர் இரு பரிமாண பகுதியில் சார்பு ஒன்று பகு முறையாக இருக்க வேண்டுமானால், அப்பகுதியில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும், சார்பு வகைக் கெழு, காணக் கூடியதாக இருக்க வேண்டும். இவ்வாறான பகு முறைச் சார்பை ஹோலோமார்ஃபிக் (holomorphic) சார்பு, மானோஜெனிக் (monogenic) சார்பு, முறையான பகு முறைச் சார்பு எனவும், இடத்திற்கு ஏற்றாற் போல் பயன் படுத்தலாம். பிரெஞ்ச் கணித அறிஞர் காசி என்பாரால், பகு முறைச் சார்புக் கோட்பாடு உருவாக்கப் பட்டது. அதன் பின்னர், ஜெர்மனி நாட்டைச் சார்ந்த ரீமான் என்பார், ஒரு புதிய கோட்பாட்டை உருவாக்கினார். இதில், ஓர் இரட்டை ஹார்மானிக் சார்புகளைக் (hormonic function) கொண்டு பகு முறைச் சார்பை வரையறை செய்தார். லாப்லாஸ் சமன்பாடுகளை நிறைவு செய்யும் சமன்பாடு, ஹார்மானிக் சமன்பாடு எனப் படும். இதன் பயனாக, ரீமான் மேற்பரப்பு உருவாயிற்று. கால் வெய்க்ஸ்ட்டிராஸ் என்பார், அடுக்குத் தொடர்களைப் (power series) பயன் படுத்திப் பகுமுறைச் சார்புகளை உருவாக்கினார். இப்பிரிவில், ஒரு சிக்கல் மாறியுடைய பகு முறைச் சார்பு, காசிக் கோட்பாடு, நீள் வட்டச் சார்பு, பல கலப்பு மாறிகளையுடைய சார்பு வடிவொத்த அமைப்பு மாற்றி (conformal maps), சிக்கல் பன்மடங்கி (complex manifolds) போன்றவை விளக்கப் படுகின்றன. தொடர். தொடர் என்பது எண்களின் வரிசை முறையின் இடையில் கூட்டல் குறியிட்டுக் காட்டும் அமைப்பாகும். வரிசை முறையைப் போலவே குவிதல், விரிதல் போன்ற தன்மைகள் தொடருக்கும் உண்டு. வகைக் கெழுச் சமன்பாடு. ஒரு சார்பையும், அதன் வகைக் கெழுவையும் தொடர்பு படுத்தும் சமன்பாடு, வகைக் கெழுச் சமன்பாடு எனப் படும். அறிவியல், தொழிற் நுட்பங்களில் இவ்வகைச் சமன்பாடு, பெருமளவில் பயன் படுகின்றன. இயல்பான வகைக் கெழுச் சமன்பாடு, பகுதி வகைக் கெழுச் சமன்பாடு என இரு பெரும் பிரிவுகளாக இது பிரிக்கப் பட்டுள்ளன. ஃபூரியர் பகுப்பாய்வு. கணித இயற்பியலுக்கும், கணிதத்திற்கும் இன்றியமையாக் கருவியான இப்பிரிவு பிரெஞ்ச் கணித அறிஞர் ஜீன்–பாப்ட்டிஸ்ட்–ஜோசப் ஃபூரியர் என்பாரின் பெயரால் வழங்கப் பட்டு வருகிறது. வளைவான வில் போன்ற அமைப்பின் முனைகளில் கட்டப் பட்ட ஒரு கயிற்றின் அதிர்வு பற்றி, ஆயிலர், பெர்னோலி ஆகியோர் படிக்கும் போது, இப்பிரிவு உருவானது. இவற்றில், ஃபூரியர் தொடர், ஹார்மானிக் பகுப்பாய்வு, தொகை உருமாற்றம் , குளங்களின் குறியீட்டு முறை போன்றவை அடங்கியிருக்கின்றன. மாறுபாட்டு நுண் கணிதம். இது ஒரு பழமையான பாடப் பகுதியாகும். இதில் உள்ள பல கணக்குகள் பண்டைக் காலக் கிரேக்கர்களால் மெய்ப்பிக்கப் பட்டவை. இரு புள்ளிகளையும் எண்ணற்ற வளைவுகளால் இணைக்கலாம். இந்த வளைவுகளின் குலத்தில் (Group) ஒரு வளைவு மிகக் குறைவான தொலைவுடையதாக இருக்கும். இது இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர் கோடு ஆகும். மேலும், அ, என்னும் புள்ளியிலிருந்து ஆ, என்னும் புள்ளிக்கு ஒரு பொருள் குறிப்பிட்ட திசை வேகத்தில் நகரத் தொடங்கும் போது, எந்த வளைவின் வழியாகச் சென்றால், குறைவான நேரத்தில் ஆ, புள்ளியை அடைய முடியும் என்பதைக் காண்பதாகும். X அல்லது Y அச்சை மையமாக வைத்துச் சுழற்றும் போது, எந்த வளைவு மிகக் குறைவான பரப்பளவை உருவாக்கும் என்பதைக் காண்பதாகும். இது இயக்கவியல், இயங்கியல் அமைப்புகளில் (dynamical) பயன் படுகிறது. சார்பு பகுப்பாய்வு. ஃபூரியரால் தோற்றுவிக்கப் பட்ட ஃபூரியர் பகுப்பாய்வு அதன் பின்னர், தோன்றியவர்களால் பொதுமைப் படுத்தப் பட்டது. இதில் பயன் படுத்தப் பட்ட சிக்கலெண் மாறிச் சார்புக் கோட்பாட்டில் இன்றியமையாமை பெற்றது. தோராய முறை நுட்பங்களை மீண்டும் பயன் படுத்துவதால், ஒரு பெரிய தொகுப்பு (collection) அல்லது சார்புகளின் வெளியில் (space of function) ஒரு தனிப் பட்ட சார்பு உறுப்பினராக இருப்பது தெரிய வந்தது. இவர் ஒரு குறிப்பிட்ட சார்புக்கு மட்டும் பண்புகளை ஆராயாமல், இச்சார்பு உள்ள அதற்குப் பொருத்தமான தொகுப்பை எடுத்து ஆராயத் தொடங்கினார். இதன் பயனாகப் பழைய நிரூபணங்கள் எளிமையாகி, புதிய நிரூபணங்களும் உருவாயின. பழைய பகுப்பாய்வில் பயன் படுத்தப் பட்ட அனைத்து முறைகளும் இத் தொகுப்பில் பயன் படுத்தப் பட்டன. இவ்வாறு, பழைய முறைகளைச் சார்புகளின் தொகுப்பிற்குப் பயன் படுத்திச் சார்பு தொகுப்பைப் பற்றிய தன்மைகளைப் படிப்பது, சார்பு பகுப்பாய்வு எனப் படும். திசையப் பகுப்பாய்வு. வெப்பம், பொருண்மை போன்ற பல இயற்பியல் அளவுகள், எண்களால் மட்டும் குறிக்கப் படுகின்றன. இதைக் குறிக்கும் சொல் அளவெண் (scalar) எனப் படும். மாறாகத் திசை வேகம், விசை போன்றவற்றில் திசையும் சேர்த்துக் குறிக்க வேண்டும். இவ்வாறு குறிக்கப்படுவது திசையன் (vector) எனப் படும். வடிவயியலில் ஒரு குறிப்பிட்ட திசையில் கொடுக்கப் பட்ட திசையனின் உரு அளவு (magnitude) நீளத்திற்கு வரையப் படும் கோடு, திசையன் எனப் படும். பண்புரு பகுப்பாய்வு. திசையப் பகுப்பாய்வின் பொதுமைப் படுத்தலே பண்புரு பகுப்பாய்வு எனப் படும். கொடுக்கப் பட்ட ஆய முறைக் கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு ஆய முறையிலும் இடம் பெறும் உறுப்புகளைக் கூறுகளாகக் (components) கொண்ட ஓர் அளவு, பண்புரு (tensor) எனப் படும். இதில் உள்ள ஒவ்வொரு கூறும், ஏதேனும் பிறிதோர் கூறுடன் குறிப்பிட்ட ஒரு விதியில் தொடர்பு படுத்தப் பட்டிருக்கும். எடுத்துக் காட்டாக, பாய்மத்தின் ஒரு புள்ளியின் தகைவு (stress) இரண்டு திசையன்களுக்கிடையே உள்ள தொடர்பாகும். பண்புருவை எப்பருமாண வடிவயியல் வெளியிலும் விவரிக்கலாம். இது வகைக் கெழு வடிவியல் (differential geometry), குவாண்டம் இயக்கவியல் (quantum mechanics), வானக் கோள இயக்கவியல் (celestial mechanics), பாய்ம இயக்கவியல் (fluid mechanics), சார்பு கோட்பாடு (relativity theory) போன்றவற்றில் அடிப்படையாக விளங்குகிறது. —பெ. வடிவேல்