கணிதவியலில் பயன்படுத்தப்படும் முக்கியமான சிறப்புச் சார்புகள் இங்கு இடம் பெறுகின்றன. (1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - 2x - \frac{dy}{dx} + n(n+1)y = 0 எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டிற்கு லெஜண்டா சமன்பாடு எனப் பெயர். இச்சமன்பாட்டுத் தீர்வுகளுக்கு லெஜண்டர் சார்புகள் என்று பெயர். y = a_0[x^n - \frac{n(n-1)}{2(2n-1)} x^{n-2} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2.4(2n-1)(2n-3)}x^{n-4}-...] (1) என்பது ஒரு தீர்வாகவும், y = a_0[x^{-n-1} + \frac{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)} x^{-n-2} + ...] (2) என்பது மறு தீர்வாகவும் இருக்கும். இதில் (1) இல் a_0 = \frac{1.3...(2n-1)}{n!} எனும் போது, yஇன் மதிப்பை P(x) எனவும், (2)ல் a_0 = \frac{n!}{1.3...(2n+1)} எனும் போது, yஇன் மதிப்பை Q(x) எனவும் எழுதுவது வழக்கம். P(x), Q(x) என்பவை லெஜண்டர் சார்பின் முதல், இரண்டாம் வகை எனப் பெயர் பெறும். லெஜண்டர் சார்பு தொடர்புடைய சார்பு P_n^m(x) என்பது P_n^m(x) = (1-x^2)^{\frac{m}{2\frac{d^m}{dx^m} P_n(x) என வரையறுக்கப்படுகிறது. P_n^0(x) = P_n(x) என்பதும், P_n^m(x) = 0, (m>n) என்பதும் இதன் இரு சிறப்பியல்புகள் ஆகும். அதி பெருக்குத் தொடர் (hyper geometric series) சார்பு F என்பது என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு (α) என்பது α(α+1)(α+2)……(α+r-1)இன் மதிப்பைக் குறிக்கும். \frac{d^2y}{dx^2} + \frac {1}{x} \frac{dy}{dx} + (1-\frac{n^2}{x^2}) y = 0 எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை, பெஸ்ஸல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு எனவும், அதன் தீர்வுகள் J₀(x), J(x)களைப் பெஸ்ஸல் சார்புகள் எனவும் குறிப்பிடலாம். n=0 ஆகும் போது கிடைக்கும் தீர்வுக்கு J₀(x) எனப் பெயர். இச்சார்புகளை ஒட்டிய பல பண்புகளும், வாய்ப்பாடுகளும் உள்ளன. Cos(xSinθ) = J₀ + 2 Cos 2θ J₂ + 2 Cos4θ J₄ + … Sin(x Sinθ) = 2 Sinθ J₁+ 2 Sin 3θ J₃ + … எனும் ஜக்கோபியத் தொடர்களும் இதில் அடங்கும். ஹெர்மைட் சார்புகள், லாகர் (laguerre), செபிஷவ் (chebyshev) சார்புகள், அவற்றுடன் தொடர்புடைய பிறப்பிக்கும் (generating) சார்புகள் ஆகியவை இங்கு இடம் பெறுகின்றன. g₁(x)B,g₂(x) எனும் சார்புகளின் உட்பெருக்கல் (inner product) என்பது (g₁,g₂) = \int_2^b g_1(x) g_2 (x) dx என நிறுவப்படுகிறது. இந்த இரு சார்புகளும், செங்குத்தாக வெட்டும் போது, (g₁,g₂) = 0 எனக் கிடைக்கும். கால அளவுச் சார்புகள் (periodic functions), நீள் வட்டச்சார்புகள் (elliptic functions), வெய்ஸ்டிராஸின் சிக்மா (sigma) சார்புகள், வெய்ஸ்டிராஸின் ஸிடா (zeta) சார்புகள், வெய்ஸ்டிராவின் நீள் வட்டச் சார்புகள், அதையொட்டிய பண்புகள், ஜக்கோபியின் நீள் வட்டச் சார்புகள், அதைச் சார்ந்த பண்புகள் ஆகிய அனைத்தும் சிறப்புச் சார்புகளாகும். கணிதவியலில் தனித்தன்மை கொண்ட பீட்டா, காமாச் சார்புகள் \beta(m,n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx எனவும், \gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x}x^{n-1}dx எனவும், முறையே வரையறுக்கப்படுகின்றன. இதையொட்டிய சிறப்புத் தன்மைகள் கணித ஆய்வில் மிகவும் பயன்படுகின்றன. \beta(m,n) = \frac{\gamma(m) \gamma(n)}{\gamma(m+n)} எனும் தொடர்பு பண்பு இங்கு குறிப்பிடத் தக்க பண்பாகும். சிறப்புச் சார்புகளில் டிரேக் டெல்டா சார்பு (dirac delta function) தனித் தன்மை வாய்ந்ததாகும். எல்லை மதிப்புக் கணக்குகளில் (bounding value functions) இச்சார்பும், அதன் வகைக்கெழுவும் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. —எம். அரவாண்டி