இயற்கணிதத்தைக் கொண்டு, வடிவக் கணிதத்தை 1637இல் பிரான்ஸ் நாட்டுக் கணித அறிஞர் ரானே டெக்கார்டே என்பார், ஆராய்ந்ததன் விளைவாகப் பிறந்தது பகுமுறை வடிவக் கணிதம் (analytical geometry) ஆகும். பெர்மாட், நியூட்டன் லீனி ஆகியோர் டெக்கார்டே காட்டிய வழியைப் பின்பற்றிப் பல ஆய்வுகளை நடத்தினர். இரு பரிமாணத்தில் தளத்திலுள்ள இரு புள்ளி ஒன்றுக்கொன்று வெட்டிக் கொள்ளும் இரு கோடுகளைக் கொண்டு குறிக்கப் படுகிறது. இக்கோடுகளுக்கு ஆயங்கள் என்று பெயர். இக்கோடுகளைக் குத்தாயங்களாக எடுத்துக் கொள்வது சிறந்தது. ஆயங்கள் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளியை ஆதி எனலாம். படுக்கைக் கோட்டை X ஆயமென்றும், நெடுங்கோட்டை Y ஆயமென்றும் கொள்வது மரபு. OX இல் X அலகு தொலைவும், அவ்விடத்திலிருந்து OY க்கு இணையாக Y அலகு தொலைவும் உள்ள ஒரு புள்ளி என்று (X,Y) படம் 1இல் உள்ளவாறு குறிக்கப் படுகின்றன. இதே போன்று தளத்திலுள்ள ஏனைய புள்ளிகள் குறிக்கப் படுகின்றன. இரு புள்ளியின் P(X₁, Y₁), Q(X₂, Y₂) என இருப்பின், அவற்றிற்கு இடைப்பட்ட தொலைவை PQ = \sqrt { \big( X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2} என்னும் வாய்ப்பாட்டால் அறியலாம். இது பித்தாகரஸின் வழியைக் கொண்டு காணப் படுகிறது. எந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடைப் பட்ட தொலைவையும் அளவிட, இந்த வாய்ப்பாடு உதவுகிறது. (X₁, Y₁), (X₂, Y₂) எனும் புள்ளிகளைச் சேர்க்கும் கோட்டின் மையப் புள்ளியை \big[ \frac {X_1 + X_2}{2} , \frac {Y_1 + Y_2}{2} \big] என அறியலாம். ஒரு முக்கோணத்தின் உச்சிகள் (X₁, Y₁), (X₂, Y₂), (X₃,Y₃) என்றாயின், அம்முக்கோணத்தின் நடுக் கோட்டுச் சந்தி (centroid) \big[ \frac {X_1 + X_2+X_3}{3} , \frac {Y_1 + Y_2+Y_3}{3} \big] என்று கிடைக்கிறது. அம்முக்கோணத்தின் பரப்பு \frac {1}{2} \big[ X_1 (Y_2 - Y_3) +X_2(Y_3 - Y_1) + X_3 (Y_1 - Y_2) \big] மூலம் அறியப் படும். நேர்கோட்டை ஒட்டிய சில அடிப்படைச் சமன்பாடுகளை அறிந்து கொள்வது பயனுடையது. 1. நேர் கோடு, X அச்சுடன் θ எனும் கோணத்தை ஏற்படுத்தி, Y அச்சை O எனும் புள்ளியிலிருந்து C தொலைவில் வெட்டினால், அக்கோட்டின் சமன்பாடு Y=mx+C; இங்கு m = Tan θ என்பது அக்கோட்டின் சாய்வு (slope) எனப் படும். 2. ஒரு நேர் கோடு, (x₁,y₁) எனும் புள்ளி வழியே சென்று, m சரிவினைப் பெற்றிருந்தால், அதன் சமன்பாடு y - y₁ =m(x -x₁) ஆகும். 3. ஒரு நேர் கோடு, (x₁, y₁), (x₂,y₂) எனும் இரு புள்ளிகள் வழியே சென்றால், அதன் சமன்பாடு \frac {y - y_1} {x-x_1} = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - X_2} 4. ஒரு நேர் கோடு, X ஆயத்தை Oவினிலிருந்து a தொலைவிலும், Y ஆயத்தை b தொலைவிலும் வெட்ட, அதன் சமன்பாடு x/a + yb = 1 ஆகும். a,b அக்கோட்டின் வெட்டுத் துண்டுகள் (intercepts) எனப் படும். 5. ஒரு நேர் கோட்டின் மேல் ஆயத்திலிருந்து வரையப் படும் செங்குத்துக் கோடு , OM, P அலகு நீளமும், X ஆயத்துடன் OM ஏற்படுத்தும் கோணம் α எனவும் இருந்தால், நேர்கோட்டுச் சமன்பாடு xcosα + ysinα =P என்றாகிறது. X,Y இல் அமைந்த ஒரு படிச் சமன்பாடு ஒவ்வொன்றும் ஒரு நேர் கோட்டைக் குறிக்கும். ax + by + c = 0 ஒரு நேர் கோடெனில், (a,b மாறிகள்) இதன் சரிவு (- a/b) என்றறியலாம். இதைப் பயன்படுத்தி, ஒரு நேர் கோட்டுச் சரிவை எளிதாக அறியலாம். y=m₁x + c₁; y=m₂x + c₂ எனும் இரு கோடுகள் வெட்டிக் கொள்ளும் போது, அவற்றிற்கிடைப்பட்ட கோணத்தை , tan \theta = \frac {m_1 - m_2} {1 + m_1m_2} எனும் வாய்ப்பாட்டைக் கொண்டு அறியலாம். θ = 0 எனில், m₁ =m₂ என்றாகி, இரண்டு கோடுகள் இணையாகவோ, ஒன்றியக் கோடுகளாகவோ (coincidence) ஆகும் போது, அவற்றின் சரிவுகள் சமமாகின்றன. θ = 90° எனில், m₁ m₂ = -1 என்றால், இரு கோடுகள் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொள்ள வேண்டிய கட்டுப்பாடாக; சரிவுகளின் பெருக்கற்பலன் -1 என அறிய முடிகிறது. நேர் கோட்டுச் சமன்பாட்டைப் பயன் படுத்தி யூக்ளிடின் தள வடிவம் கணிதத்திலுள்ள இணைகரத்தின் மூலை விட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக வெட்டிக் கொள்ளும் எனும் கொள்கை, பகுமுறை வடிவ கணிதத்தின் மூலம் எளிதாகத் தீர்க்கப் படுகிறது. படம் 2 இல் காட்டியப்படி OABC எனும் இணைகரத்தில் OA = 1 எனக் கொள்ளலாம். O, A, 8, C எனும் உச்சிகள் முறையே (0,0),(1,0),(a,b),(a-1,b) என்றாகின்றன. OB இன் சமன்பாடு y = \frac {a}{b}x எனவும் AC இன் சமன்பாடு (a-2)y = b(x-1) எனவும் அமையும், அவற்றின் தீர்வான \big( \frac {a}{2}, \frac{b}{2} \big) எனும் புள்ளி, இரு சமன்பாடுகளுக்கும் பொருந்தி, ஒவ்வொரு மூலை விட்டத்தின் மையப் புள்ளியாகவும் அமைகிறது. இரட்டைக் கோடுகள். lx + my + n = 0; l₁x + m₁y + n₁ = 0 என்பன இரண்டு கோடுகளைக் குறிக்கும் போது இரண்டையும் பெருக்கியதின் விளைவு ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 எனும் வடிவில் அளவில் அமைந்து, இரட்டைக் கோடுகளின் கூட்டுச் சமன்பாட்டைக் (combined equation) குறிப்பதை அறியலாம். ax² + 2hxy + by² = 0 என்பது ஆதியின் வழி செல்லும் இரண்டு கோடுகளாகும். இவ்விரு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தை tan \theta = \pm \frac {2 \sqrt {h^2 - ab{a + b} எனும் வாய்ப்பாட்டால் அறியலாம். இதில் a + b= 0 எனில், θ = 90° என்றாகி, இவ்விரு கோடுகளும் நேர் குத்துக் கோடுகளாகின்றன. இவ்விரு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தின் இரு சமவெட்டிச் சமன்பாடு \frac {x^2 - y^2}{a-h} = \frac {xy}{h} என்பதைக் காணலாம். வட்டம். தளத்தில் ஒரு நிலையான புள்ளியிலிருந்து, மாறாத தொலைவில் இயங்கு புள்ளியில் இயக்கு வரை வட்டம் எனப் படுகிறது. இந்நிலையான புள்ளிக்கு, வட்ட மையம் (Centre) என்றும், மாறாத தொலைவிற்கு வட்ட ஆரம் என்றும் பெயர். ஆதியை (Origin) மையமாகவும், r அலகை ஆரமாகவும் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு படம் 3 இல் உள்ளபடி x² + y² = r² என்றும் (h, k) மையமாகவும், r அலகை ஆரமாகவும் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு படம் 4 இல் உள்ளபடி (x- h)² + (y - k)² =r² என்றும் ஆகும். ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாட்டைப் பொதுவாக x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 என்றெழுதலாம். இதன் மையம் (-g, -f) ஆகவும், ஆரம் \sqrt {g^2 + f^2 - c^2} ஆகவும் இருக்கும். இவ்வட்டத்தின் மீது (x₁, y₁) எனும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் தொடு கோடு வரைய, அதன் சமன்பாடு xx₁ + yy₁ + g(x +x₁) + f(y +y₁) + c = 0 என நிறுவலாம். x² + y² +2gx +2fy + c =0; x² + y²+ 2g₁x + 2f₁y + c =0 எனும் வட்டங்கள் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொள்ளும் போது, அவற்றின் சமன்பாடுகள் 2gg₁ + 2ff₁ =c+c₁ என்னும் நிபந்தனையை நிறைவு செய்கின்றன. ஒரு புள்ளியிலிருந்து இரு வட்டங்களுக்கு வரையப் படும் தொடுகோடுகளின் நீளங்கள் சமமாக இருப்பின், அப்புள்ளியின் இயக்கு வரை வட்டங்களின் சம தொடு வரை ஆயம் (radical axis) என்றாகிறது (படம் . 5). \begin{align} x ^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c &= 0 \\ x ^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 &= 0 \end{align} எனும் வட்டங்களில் சம தொடு வரையாரத்தின் சமன்பாட்டை 2(g-g₁)x + 2(f - f₁)y + (c - c₁) =0 என நிறுவலாம். மூன்று வட்டங்களை இரண்டிரண்டாக எடுத்தால், அவற்றின் சம தொடு வரையாயங்கள் ஒரு புள்ளி வழியே செல்லும். இப்புள்ளியை சம தொடு வரை மையம் (radical Centre) எனலாம். கூம்பு வெட்டுகள் (conics) . ஒரு நிலைப் புள்ளி ஒரு நிலைக் கோடு இவற்றிலிருந்து P எனும் புள்ளியின் தொலைவு நிலைத் தகவுடையதாக இருப்பின், Pஇல் இயக்கு வரைக்குக் (படம் 6) கூம்பு வெட்டி என்று பெயர். இந்த நிலைப் புள்ளிக்குக் குவியம் (focus) எனவும், நிலைக் கோட்டிற்கு இயக்கு வரை (direct rix) எனவும், நிலைத் தகவிற்கு மைய மீசுற்று (ecentricity) எனவும் பெயர். e = 1 எனில், கூம்பு வெட்டிக்குப் பர வளையம் (parabola) என்றும், e < 1 எனில், நீள் வட்டம் (ellipse) எனவும், e > 1 எனில், அதி பர வளையம் (hyperbola) எனவும் பெயர் பெறும். ஒரு கூம்பு வெட்டியின் சமன்பாடு இரு படிச் சமன்பாடாகும். குவியத்தை (x₁, y₁) ஆகவும், இயக்கு வரையை ax + by + c=0 ஆகவும், P(x,y)ஆகவும் கொண்டால், \frac {SP}{PM} = e என்பது \big( x-x_1 \big) ^2 + \big( y - y_1 \big) ^2 = \frac {e^2 \big( ax + by + c \big)^2}{a^2 + b^2} என்றாகி, ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 என்னும் இரு படிச் சமன்பாட்டை ஏற்கிறது. படம் 6இல் AS, AY எனும் கோடுகளை ஆயங்களாகக் கொண்டு, S(a, 0) குவியம் என வைத்துக் கொண்டால், ஒரு பர வளையத்தின் சமன்பாட்டை y² = 4ax எனப் பெறலாம். ஒரு நீள் வட்டம் \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 1 எனும் சமன்பாட்டையும் (இங்கு 2a, 2b என்பவை நெட்டையச்சையும், குட்டையச்சையும் குறிக்கும்). ஒரு அதி பர வளையம் \frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2} = 1 எனும் சமன்பாட்டையும் பொதுவாகப் பெறுகின்றது. நீள் வட்டத்தில் a = b என்றால் அது வட்டமாகிறது. அதி பர வளையத்தில் a = b என்றால், அது ஒரு செவ்வக அதி பர வளையமாகிறது. போலார் எண்கள். பகு முறை வடிவக் கணிதத்தில், வேறு ஒரு முறையிலும் புள்ளிகளைக் குறிக்கலாம். இம்முறைக்குப் போலார் முறை என்று பெயர். இம்முறையில், ஒரு புள்ளியை (r, θ) என்று குறிப்பது வழக்கம். படம் 7 இல் உள்ளது போல், O எனும் புள்ளியைத் துருவமாயும் (pole) OA எனும் கோட்டைத் தொடக்கக் கோடாயும் (initial line) LAOP = θ எனும்படி P எனும் புள்ளியை O–விலிருந்து r அலகு தொலைவில் எடுக்க, Pஐ (r,θ) எனக் குறிக்கலாம். இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப் பட்ட தொலைவு முக்கோணத்தின் பரப்பு, வட்டச் சமன்பாடு ஆகிய புள்ளிகளைப் போலார் முறையிலும் எழுதலாம். ஒரு கூம்பு வெட்டியின் சமன்பாடு \frac {1}{r} = 1 + ecos \theta என அமைகிறது. முப்பரிமாணப் பகுமுறை வடிவக் கணிதம். ஒன்றுக் கொன்று செங்குத்தாக வெட்டிக் கொள்ளும் மூன்று நேர் கோடுகளை, முப்பரிமாண வடிவ கணிதத்தில் அச்சுகளாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். வீட்டிலுள்ள ஓர் அறையின் மூலையைக் கற்பனை செய்து கொண்டால், மூன்று அச்சுகளையும் கருத்தில் கொள்வது எளிதாயிருக்கும். முறையான மூன்று எண்களால் ஒரு புள்ளியை வரையறுக்க முடியும். அப்புள்ளியிலிருந்து, மூன்று தளத்திற்கும் குத்துக் கோடு வரைந்து அதை அளவிடலாம். இரண்டு புள்ளிகளை (x₁, y₁, z₁),(x₂, y₂, z₂) என்று எடுத்துக் கொண்டால், இப்புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவை, \sqrt { \big( x_1 - x_2 \big) ^2 + \big( y_1 - y_2 \big) ^2 + \big( z_1 - z_2 \big) ^2 } எனும் வாய்ப்பாட்டைக் கொண்டு அறியலாம். இரட்டைப் பரிமாணத்தில், எடுத்தாளப் பட்ட பல வாய்ப்பாடுகள் இங்கும் பொருந்துவதைக் காணலாம். திசைக் கொசைன்களும், திசை விகிதங்களும். தளப் பகுமுறை வடிவ கணிதத்தில், ஒரு நேர் கோட்டுச் சரிவு (slope) முதன்மை இடத்தைப் பெறுகிறது. முப்பரிமாணப் பகுமுறை வடிவக் கணிதத்தில் இதை ஒத்த கருத்தே திசைக் கொசைன்களாகும். OP எனும் கோடு α, β, γ எனும் கோணங்களை X, Y, Z அச்சுகளுடன் ஏற்படுத்தினால், cosα, cosβ, cosγ என்பன இந்நேர் கோட்டின் திசைக் கொசைன்களாகும். மேலும் இவை cos²α + cos²β + cos²γ = 1 எனும் சமன்பாட்டை உருவாக்கும். a, b, c எனும் எண்கள், திசைக் கொசைன்களின் a, b, c எனும் எண்கள், திசைக் கொசைன்களின் விகிதாச்சாரத்திலிருந்தால், அவற்றைத் திசை விகிதங்கள் எனலாம். ஆகவே, \frac{a}{cos \alpha} = \frac{b}{cos \beta} = \frac{c}{cos \gamma} என்றும், cos \alpha = \frac {a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2; cos \beta = \frac {b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2; cos \gamma = \frac {c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 என்றும் கிடைக்கின்றன. தளம். ax + by + cz = 0 என்பது ஒரு தளத்தில் பொதுச் சமன்பாடாகும். தளத்தின் சமன்பாடுகளை வரிசைப் படுத்தலாம். மூன்று அச்சுக்களையும் ஒரு தளம் Oவிலிருந்து a, b, c என்னும் தொலைவில் வெட்டினால், அத்தளத்தின் சமன்பாடு \frac {x}{z} + \frac {y}{b} + \frac {z}{c} = 1 என்றும் ஒரு தளம் மூன்று புள்ளிகள் (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), (x₃, y₃, z₃) வழியாகச் செல்லும் போது, அதன் சமன்பாடு \begin{vmatrix} x & y & z & 1\\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 என்றும் ஆகின்றன. ஆதியிலிருந்து ஒரு தளத்திற்கு P எனும் செங்குத்துக் கோடு வரைய, அக்கோடு l, m, n எனும் திசைக் கொசைன்களை ஏற்படுத்தினால், தளத்தின் சமன்பாடு lx + my + nz =P ஆகும். (x, y, z) என்னும் ஒரு புள்ளியிலிருந்து ax + by + cz + d = 0 எனும் ஒரு தளத்திற்கு வரையப் படும் செங்குத்துக் கோட்டின் நீளம் \pm \frac {ax_1 + by_1 + cz_1 + d} {\sqrt {a^2 + b^2 + c^2 என்றாகிறது. நேர் கோடு. (x₁, y₁, Z₁), (x₂, y₂, Z₂) எனும் இரு புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு \frac {x-x_1}{x_2 - x_1} = \frac {y-y_1}{y_2 - y_1} = \frac {z-z_1}{z_2 - z_1} ஆகும். இரண்டு கோடுகள் \frac {x-x_1}{l_1} = \frac {y-y_1}{m_1} = \frac {z-z_1}{n_1} ; \frac {x-x_2}{l_2} = \frac {y-y_2}{m_2} = \frac {z-z_2}{n_2} ஒரே தளத்தில் அமைவதற்கு, \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - Z_1\\ l_1 & m_1 & n_1\\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = 0 என்னும் கட்டுப்பாடு கிடைக்க வேண்டும். கோளம். ஆதியை மையமாகவும், r–அலகை ஆரமாகவும் கொண்ட, ஒரு கோளத்தின் சமன்பாடு x² + y² + z² = r² என்றும் (a,b,c) எனும் புள்ளியை மையமாகவும், r அலகை ஆரமாகவும் கொண்ட கோளத்தின் சமன்பாடு (x - a)² + (y - b)² + (z - c)²= r² என்றும் காணலாம். இதைப் பொதுவாக, x² + y² + z² +2ux + 2vy + 2wz + d = 0 என்று குறிப்பது வழக்கம். ஒரு கோளத்தினை ஒரு தளம் வெட்டுமாயின், அவ்வெட்டு வட்டமாகிறது. இவ்வட்டத்திற்குச் சிறு வட்டம் (small circle) என்று பெயர். இத்தளம் கோள மையத்தில் அமையும் போது, அவ்வட்டத்திற்குப் பெரு வட்டம் (great circle) என்று பெயர். x² + y² + z² + 2u₁x + 2v₁y + 2w₁z + d₁ = 0 x² + y² + z² + 2u₂x + 2v₂y + 2w₂z + d₂ = 0 என்னும் இரு கோளங்கள் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொள்ளும் போது, சமன்பாடுகள் 2u₁u₂ + 2v₁v₂ + 2w₁w₂ = d₁ + d₂ என்னும் நிபந்தனையைத் நிறைவு செய்கின்றன. கூம்பு. ஒரு நிலையான புள்ளி V வழியாகச் செல்லுமாறு, நேர்கோடு I ஒரு கொடுக்கப் பட்ட வளை வரை rஐ வெட்டிக் கொண்டோ, ஒரு கொடுக்கப் பட்ட வளை தளப் பரப்பு S–ஐத் தொட்டுக் கொண்டோ, செல்லுமாறு உருவாக்கப் படும் வளை தளப் பரப்பு, கூம்பு எனப்படும். V–ஐ உச்சி என்றும், I–ஐ உருவாக்கி என்றும், r–ஐ, துணை வளை வரை என்றும் சொல்லுவதுண்டு. நேர் வட்டக் கூம்பு. முப்பரிமாணத்தின் V–ஒரு நிலையான புள்ளி, VM ஒரு நிலையான நேர்கோடு. V வழியே செல்லும் ஏதேனும் ஒரு நேர் கோடு I, VM–உடன் ஒரு மாறாத கோணம் α–ஐ உண்டாக்கும் போது, I உருவாக்கும் வளை தளப் பரப்பு, நேர் வட்டக் கூம்பு எனப் படும். V–க்கு உச்சி என்றும், α–க்கு அரை உச்சிக் கோணம் என்றும், VM–க்கு அச்சு என்னும் பெயர். நேர் வட்டக் கூம்பை அதன் அச்சுக்குக் செங்குத்தான ஏதேனும் ஒரு தளம் வெட்டுவதால் ஏற்படும் வெட்டு முகம் (plane section) ஒரு வட்டமாகும். எனவே, இக்கூம்பு, நேர் வட்டக் கூம்பு எனக் குறிக்கப் படுகிறது. உருளை. ஒரு நிலையான நேர் கோடு I–க்கு இணையாக உள்ள மற்றொரு மாறும் நேர் கோடு I' ஒரு கொடுக்கப் பட்ட வனை வரை rஐ வெட்டிக் கொண்டோ, ஒரு கொடுக்கப் பட்ட வளை தளப் பரப்பு Sஐத் தொட்டுக் கொண்டோ செல்வதால் உருவாக்கப் படும் வளை தளப் பரப்பு, உருளை எனப்படும். I என்பது உருளையின் அச்சு, I' உருவாக்கி, r–துணை வளை வரையாகும். —எம். அரவாண்டி