பொதுவாக இரு மாறிகள், ஒன்றுக்கேற்ப மற்றது அமைந்தால், அவற்றுக்குள்ள உறவை, சார்பு (function) எனலாம். இத்தகைய சார்பின் தொடர்புடைய பல மாறிகள் நடைமுறையில் உள்ளன. சார்பு பற்றிய கருத்துகள் நீண்ட காலமாக வழக்கில் இருந்து வந்துள்ள போதும், பதினாறாம் நூற்றாண்டில் இயற்பியல் அளவுகளிடையே உள்ள தொடர்புகளை ஆராய முற்பட்ட அறிஞர்களே சார்பு பற்றிய அடிப்படை உண்மைகளைத் தெளிவாக அறிந்தார்கள் என்று கூறலாம். குறிப்பாக இயக்க விதிகளைப் பற்றி விளக்கம் காண முனைந்த போது, s=16t போன்ற விதிகள் சார்புகளாகத் தரப்பட்டன. இங்கே ஒரு துகள், நிலையிலிருந்து கீழே விழும் போது, t எனும் நொடிகளில் கீழே விழுந்த தொலைவு s மீட்டர் ஆகும்; s, t ஆகியன மாறிகள். t மாறுவதற்கேற்ப s பெறும் மாற்றத்தைச் சார்பு வரையறை செய்கிறது. s ஆனது t இன் சார்பு ஆகும். குறியீட்டில் s=f(t) என எழுதப்படும். இங்கே t என்பதைச் சார்பின் தனித்த மாறி (independent variable) என்றும், s என்பதைச் சார்ந்த மாறி (dependent variable) என்றும் குறிக்கலாம். s=16t என்ற சார்பு ஒரு சமன்பாடு அமைப்பில் உள்ளது. இது போலவே r என்ற ஆரையை உடைய வட்டத்தின் பரப்பு A எனில், A=πr என்ற சார்பு சமன்பாடு வடிவத்தில் அமைந்துள்ளது. சார்பினை இரு மாறிகளுக்கு இடையே இயைந்த மதிப்புகளின் பட்டியலாக வெளியிடலாம். … … … … இதனையே (1,16), (2.64), (3,144), (4,256)… என்பன போன்ற வரிசைப்பட்ட இணைகளின் தொகுதியாகக் குறிப்பிடலாம். இத்துடன் சார்பினை வரைபடமாக அமைத்தும் காட்டலாம். x, y ஆகிய மாறிகளைச் செங்குத்து அச்சுகளில் எடுத்துக் கொண்டால் y=f(x) எனுமாறு அமைந்த (x,y) புள்ளிகளின் தொகுப்பு, f என்ற சார்பின் வரைபடமாகும். இயற்பியல், புள்ளியியல் முதலான பல துறைகளிலும் சார்பு ஓர் அடிப்படைக் கருத்தாகவும் பயன் மிக்கதாகவும் அமைந்துள்ளது. கணக் கொள்கை அடிப்படையில் சார்பு பற்றிய விளக்கம். சார்பின் பயன்பாடு சிறப்பானது என்பதைக் கருதியும், கணக் கொள்கை (set theory) கணிதக் கருத்துகளின் வெளிப்பாட்டுக்கு அடித்தளமாக அமைந்துள்ளமை கருதியும், சார்பு பற்றிய கருத்துகளைக் கணக் கொள்கை நோக்கில் அமைத்துக் காணலாம். X என்ற கணத்தில் உள்ள x என்ற உறுப்புக்கு இயைய, Y என்ற கணத்தில் உள்ள y என்ற உறுப்பைச் சில நிபந்தனைகளுக்கேற்ப, தொடர்புபடுத்தும் உறவே சார்பு (function or mapping) எனப்படும். இங்கே முதல் கணமான X அரங்கம் (domain) எனவும், இரண்டாம் கணமான Y இணை அரங்கம் (co-domain) எனவும் கூறப்படும். f என்ற சார்பால் X என்ற உறுப்போடு தொடர்புறுவது y என்ற உறுப்பெனில், f:x→y என எழுதி, y-ஐ f ஐப் பொறுத்து xஇன் பிம்பம் அல்லது மதிப்பு (image or value) எனக் கூறலாம். இதையே y =f(x) என்றும் எழுதலாம். சார்பினால் இரு கணங்கள் தொடர்புறும் போது, இரு நிபந்தனைகள் நிறைவு செய்யப்பட வேண்டும். (1) அரங்கத்தின ஒவ்வோர் உறுப்புக்கும் ஒரு பிம்பம் கூறப்பட வேண்டும். (2) எந்த உறுப்புக்கும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பிம்பம் கூடாது. ஆனால் இரு உறுப்புகளின் பிம்பங்களும் ஒன்றாக அமையத் தடையில்லை. எ.கா: A={1, 2, 3, 4,…); B = {1,2,3,4,…} எனலாம். f:A → B என்ற சார்பு பின்வருமாறு வரையறை செய்யப்படுகிறது. ஒவ்வோர் எண்ணும் (x) அதன் இரண்டாம் படியோடு (x) தொடர்புபடுத்தப்பட்டுள்ளது, இங்கு f(x) = x எனுமாறு சார்பு f வரையறையாகிறது. {1,2,3,4,…} என்பது அரங்கம். {1.4.9,16,…} ஆகிய பிம்பங்களின் தொகுப்பு, வீச்சு (range) எனப்படும். இங்கே வீச்சு, {1,2,3,4,…} என்ற இணை அரங்கத்தின் ஓர் உட்கணம் (sub set) ஆகும். படம் 1.இல் காண்பது சார்பன்று. ஏனெனில், dக்குப் பிம்பம் கூறப்படவில்லை. சார்பு வகைகள். (அ) f: A → B என்பது சார்பு; Bஇன் ஒவ்வோர் உறுப்பும் fஇன் பிம்பமாக வருமானால், f என்பது மேல் குவி சார்பு (subjective function) எனப்படும். படம். 2 என்பது மேல் குவி சார்பு. ஆனால், படம் 3 என்பது மேல் குவி சார்பு அன்று; ஏனெனில் Bஇன் உறுப்பான 3 ஆனது A இன் எந்த உறுப்பின் பிம்பமும் அன்று. (ஆ) f: A → B என்பது சார்பு; Bஇன் ஒவ்வோர் உறுப்பும் f இன் பிம்பமாக ஒரு முறைக்கு மட்டுமே வருமானால், f என்பது 1-1 (injective) சார்பு எனப்படும். படம் 4 என்பது 1-1 சார்பு. ஆனால் படம் 5 என்பது 1-1 சார்பன்று. ஏனெனில், a,b இரண்டுமே 1 என்ற பிம்பத்தைப் பெற்றுள்ளன. (இ) f மேல் குவி சார்பாகவும், அதே சமயத்தில் 1-1 (bijective) சார்பாகவும் கூறப்படும். இத்தகைய சார்பில் அரங்கமும், துணை அரங்கமும் சம எண்ணிக்கை உறுப்புகளைக் கொண்டு, ஒவ்வோர் அரங்க உறுப்பும் தனித்தனிப் பிம்பங்கள் கொண்டு விளங்கும். நேர், மறை சார்புகள். y=x² என்பது போன்று மாறிகள் நேராகத் தொடர்புபடுத்தப்பட்டிருந்தால், நேர் சார்பு (explicit function) என்றும், x²+y²= 25 என்பது போன்று நேரிடையாகத் தொடர்புபடுத்தப் படாமல் இருந்தால், மறை சார்பு (implicit function) என்றும் கூறப்படும். வளர், குறை சார்புகள். [a.b] என்ற இடைவெளியில் a≤ x ≤ x' ≤b என்ற கட்டுப்பாட்டுக்கு இயைந்து உள்ள x, x' எல்லாவற்றுக்கும் f[x] ≤ f[x'] எனில், y=f[x] என்ற சார்பு [a,b] என்ற இடைவெளியில் வளரும் சார்பு (increasing function) எனப்படும். இவ்வாறே a≤ x ≤ x' ≤ b எனுமாறு அமைந்த x, x' எல்லாம் f[x] >f[x'] எனும் வகையில் அமைந்தால் [a,b] இடைவெளியில் குறை சார்பு (decreasing function) எனப்படும். காட்டாக, [0,1] எனும் இடைவெளியில் y=x² என்பது வளரும் சார்பு; y = குறையும் சார்பு. பல்மாறிச் சார்புகள். இது வரை இரு மாறிகளிடையே உள்ள சார்பு பற்றிக் குறிப்பிடப்பட்டது. ஒரு மாறியின் மதிப்பு, பல மாறிகளின் மதிப்புக்கிணங்கத் தீர்மானமாகக் கூடிய சார்புகளும் உள்ளன. காட்டாக x நீளம், y அகலம், செவ்வகரப் பரப்பு A எனில் A=xy என்ற சார்பினைக் குறிப்பிடலாம். பொதுவாக y=f(x,x…x] என்பது பல மாறிகளில் அமைந்த சார்பு ஆகும். சார்பின் பயன்பாடுகள். பல துறைகளிலும் புள்ளியியல் முறைகளைக் கையாளும் போது, இரண்டும் அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளிடையே உறவு உள்ளதா, அதனை உய்த்துணர முடியுமா, அவ்வாறெனில், அந்த உறவை வரையறை செய்கின்ற சார்பின் வாய்ப்பாடு என்ன, நேர்கோட்டுச் சார்பா அல்லது வளைவரைச் சார்பா, தோராயமாகச் சார்பை கண்டால், தோராய மதிப்பீடுகளுக்கும் நடைமுறை மதிப்பீடுகளுக்குமிடையே விலக்கத்தின் தன்மை என்ன ஆகிய முக்கியமான கேள்விகளுக்கு விடை காணச் சார்பு பற்றிய அறிவு அடித்தளமாகிறது. —கோ. சண்முகசுந்தரம்