இன வகைக் கூறுகள் (categories), செயலன்கள் (functors) பற்றிய கருத்துகளை முதன்முதலில் ஐலன்பெர்க், மக்லேன் ஆகியோர் விளக்கினர். இயற்கணித இடத்தியலில் (algebraic topology) உள்ள கருத்துகளை விவரிக்கையில் ஏற்பட்ட வெற்றிடங்களை நிரப்ப, செயலன்களும், இன வகைக் கூறுகளும் அறிமுகப்படுத்தப் பட்டன. x என்னும் ஒரு கணத்தில், ⊙ ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் (binary operation) எனவும், y என்னும் ஒரு கணத்தில் • ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் எனவும் கொள்ளலாம். f(a ⊙ b) = f(a) • f(b) Ɐ a,b ∈ x என்னும் பொருள் பட, x இன் மேலுள்ள ⊙ செயலை, y இன் மேலுள்ள • செயலுக்கு எடுத்துச் செல்லும் தன்மை வாய்ந்தது. எனில், அது ஒரு செயல் மாற்றாச் சார்பு (morphism) எனப்படும். கொடுக்கப்பட்ட ஓர் இயற்கணிதத் தொகுதியிலிருந்து புதிய தொகுதிகளை உருவாக்கும் சார்புகள், கொடுக்கப்பட்ட தொகுதிகளுக்கிடையே வரையறுக்கப்படும். செயல் மாற்றாச் சார்புகளிலிருந்து, புதிய தொகுதிகளிடையே வரையறுக்கத் தக்க, செயல் மாற்றாச் சார்புகளையும் உருவாக்குகின்றன. இத்தகைய உருவாக்கிச் சார்புகள், அலகு செயல் மாற்றாச் சார்புகளையும், செயல் மாற்றாச் சார்புகளின் சேர்க்கையையும் தக்க வைக்கும் தன்மை கொண்டிருப்பின், அவை செயலன்கள் எனக் குறிக்கப்படும். குறிப்பாக, வளையங்களிலிருந்து குலங்களுக்கு வரையறுக்கப் படும் ஒரு செயலன் F ஆனது, R என்னும் ஒரு வளையத்தை F (R) என்னும் ஒரு குலத்திற்கும், f: R → S என்னும் வளையங்களின் செயல் மாற்றாச் சார்பு ஒன்றை F (f) : F(R) → F (s) என்னும் குலங்களின் செயல் மாற்றாச் சார்பு ஒன்றுக்கும், F(IR) = IF (R) • F (g⚬f) = F(g) ⚬ F(f) என்பன உண்மையாகுமாறு எடுத்துச் செல்கிறது. இந்திபந்தனைகள், ஒரு செயலன், செயல் மாற்றாச் சார்புகளை அலகு சார்புகளுக்கும், செயல் மாற்றாச் சார்புகளின் சேர்க்கையை, அவற்றின் உருக்களின் சேர்க்கைக்கும் எடுத்துச் செல்லும் தன்மை உடையது எனக் கூறுகின்றன. <!---- பக்க ஒருங்கிணைப்புக்காகப் படம், பக்கத்தின் கடைசியில் இருந்து பத்திகளுக்கு நடுவில் நகர்த்தப்படுகிறது.----> F:R→S, g:S→T என்னும் செயல் மாற்றாச் சார்புகளைப் பொறுத்த வரையில், இந்நிபந்தனைகளைக் கீழ்க் காணும் பரிமாற்ற வரைபடங்கள் மூலம் தெளிவு படுத்தலாம். உண்மையில், F என்னும் ஒரு செயலன் (இடப் புறம் உள்ள) ஒரு பரிமாற்ற வரை படத்தை (commutative diagram) (வலப் புறம் உள்ள) ஒரு பரிமாற்ற வரை படத்திற்கு எடுத்துச் செல்லும் தன்மையது என்பது (.) என்ற நிபந்தனைகள் மூலம் தெளிவாகும். எடுத்துக் காட்டாக, வளையங்களிலிருந்து குலங்களுக்கு வரையறுக்கத் தக்க ஒரு செயலன், Uஐக் காணலாம். இது ஒவ்வொரு வளையம் R உடனும் U(R) = R என்னும் கூட்டல் குலத்தை இணைக்கும் ஒன்றாகும். இது f:R → S என்னும் வளையங்களின் செயல் மாற்றாச் சார்பு ஒவ்வொன்றுடனும் U(f) = f என்னும் அதே சார்பையே இணைக்கும். (இப்போதும் இது கூட்டற் குலங்களுக்கிடையேயான செயல் மாற்றாச் சார்பேயாகும்.) இத்தகைய செயலன் U ஆனது (.) என்னும் நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்யும் என்பது வெளிப்படை; இந்தச் செயலன் U மறதிச் செயலன் (forgetful functor) எனப்படுகிறது. குலங்களிலிருந்து கணங்களுக்கு வரையறுக்கத் தக்க, மற்றொரு மறதிச் செயலன் U. ஒவ்வொரு Gஐயும், U (G) = G என்னும் கணத்திற்கும், f:G→H என்னும் குலங்களின் செயல் மாற்றாச் சார்பு ஒவ்வொன்றையும் G, H கணங்களுக்கிடைப் பட்ட சார்பு fக்கும் எடுத்துச் செல்லும். L, G ஏதேனுமிரு குலங்கள் எனில், h○m (L,G) = .t/t : L→G குலங்களின் செயல் மாற்றாச் சார்பு} என்னும் கணம் L,.G குலங்களுக்கிடையே வரையறுக்கத் தக்க, செயல் மாற்றாச் சார்புகள் அனைத்தும் கொண்ட கணமெனக் கொள்ளப்படும். f:G → H ஒரு செயல் மாற்றாச் சார்பு எனில், h○m (L, f): h○m (L, G) → h○m (L, H) என்றொரு சார்பை, h○m (L, G), h○m (L, H) என்னும் செயல் மாற்றாச் சார்புக் கணங்களுக்கிடையே வரையறுக்க முடியும். இச்சார்பு h○m (L. G)இல் உள்ள ஒவ்வொரு செயல் மாற்றாச் சார்பு tஐயும் f○t என்னும் சார்புக்கு எடுத்துச் செல்லும், அதாவது, h○m (L, f), t = f○tஆகும். (g○f) ○ t = g ○ (f○t) ஆதலால், இச்சார்புகள் சேர்ப்புத் தன்மை உடையவை. இவ்வாறாக, ஒவ்வொரு நிலையான குலம் L உடனும் h○m (L…) என்னும் செயலனை, குலங்களிலிருந்து கணங்களுக்கு வரையறுக்க முடிகிறது. இச்செயலன், ஒவ்வொரு குலங்களின் செயல் மாற்றாச் சார்பு f: G → H ஐயும் h○m (L, f) என்னும் சார்புக்கு எடுத்துச் செல்கிறது. இது h○m செயலன் (h○m functor) என்று கூறப் படும். இது ஒரு நேர் மாற்றச் செயலன் (covariant functor) ஆகும். மேலே சொல்லப்பட்ட L ஒரு நிலையான வளையம் எனில், முன் போலவே h○m (L…) என்றொரு செயலனை, வளையங்களிலிருந்து கணங்களுக்கு வரையறுக்கலாம், இது ஒவ்வொரு வளையம் R ஐயும், h○m (L, R) என்னும் செயல் மாற்றாச் சார்புக் கணத்திற்கு எடுத்துச் செல்லும். இத்தகைய கருத்துகள் பிற இயற்கணிதத் தொகுதிகளுக்கும் பொருந்தும். கொடுக்கப்பட்ட ஒரே வகையான தொகுதிகள், இன வகைக் கூறுகள் எனப்படும். இன வகைக் கூறுகளுக்கிடையேயும் செயலன்களை வரையறுக்கலாம். அத்தகைய ஒரு செயலன், இரு சார்புகளைக் கொண்டது. ஒன்று, வகையினக் கூறு ஒன்றைக் கணமொன்றுக்கு எடுத்துச் செல்லும் பொருட்சார்பு(F…); மற்றொன்று, ஒவ்வொரு செயல் மாற்றாச் சார்பையும் கணங்களுக்கிடைப்பட்ட சார்பு ஒன்றுக்கு எடுத்துச் செல்லும் சார்புச் செயலன் (FM), ஆகும். —எம். அரவாண்டி