n—உறுப்புகள் கொண்ட வெக்டர்களை (X), n X m வரிசை எண் கொண்ட அணிகளால் (A) உருமாற்றம் செய்யும் போது, சில வெக்டர்கள் உருமாறாமல் இருந்து விடுகின்றன. இவ்வெக்டர்கள் சிறப்பியல்பு வெக்டர்கள் (characteristic vectors or eigen vectors) எனப்படும். இவ்வெக்டர்கள் கணிதத்திலும், இயற்பியலிலும், பல அறிவியல் பகுதிகளிலும், முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை. இவை மாற்றும் அணி Aஐப் பொறுத்துள்ளன. மாற்றும் அணி A கொடுக்கப்பட்டால், அதற்குத் தகுந்த சிறப்பியல்பு வெக்டர்களைக் கண்டு பிடிப்பது முக்கியமாகக் கருதப்படுகிறது. இவற்றைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு முதலில் சிறப்பியல்பு தீர்வுகள் (characteristics roots or eigen values) காணப்பட வேண்டும். இத்தீர்வுகளைக் கொடுக்கும் சமன்பாடு | A-λI| = 0 ஆகும். இதற்கு சிறப்பியல்பு சமன்பாடு (characteristic equation) எனப் பெயர். மாற்றல் அணி A, மாற்றப்படும் வெக்டர் X எனக் கொண்டால், புதிய வெக்டர் AX என்பதாகும். இப்புதிய வெக்டர் மாறாமலிருந்தால், அதன் பொது உருவம் λX என்பதாகும். இதில் λ என்பது ஒரு திசையிலி (scalar). இவ்விதம் மாறா வெக்டர் சிறப்பியல்பு வெக்டர் ஆகும். இது AX = λX என்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கிடைக்கிறது. இச்மன்பாட்டை (A - λI) X=0 என எழுதலாம். இதில் I என்பது n—வரிசை எண் கொண்ட அலகு அணி (unit matrix) ஆகும். இச்சமன்பாட்டுக்கு பூஜ்யமல்லாத (non zero) தீர்வுகள் இருக்க வேண்டுமானால், தேவையான கட்டுப்பாடு | A-λI| = 0 என்பதாகும். இச்சமன்பாடு சிறப்பியல்பு சமன்பாடு எனப்படுகிறது. இது λஇல் n படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புச் சமன்பாடு (polynomial equation) ஆகும். ஆகையால், இதற்கு n தீர்வுகள் உண்டு. இத்தீர்வுகளுக்குச் சிறப்பியல்பு தீர்வுகள் எனப் பெயர். இத்தீர்வுகள் λ₁, λ₂, λ₃,…… λ ஆகும். இவை ஒவ்வொன்றையும் (A-λI) X = 0 என்ற சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டால், ஒவ்வொன்றுக்கும் தகுந்தாற் போல், ஒரு வெக்டர் தீர்வு கிடைக்கும். இத்தீர்வுகள் சிறப்பியல்பு தீர்வுகள் எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக,λக்குத் தகுந்தாற் போல் X என்ற சிறப்பியல்பு வெக்டர் கிடைக்கும், சிறப்பியல்பு தீர்வுகள் λ₁, λ₂, λ₃,…… λ நிறமாலை மதிப்புகள் (spectral values) எனவும் கூறப்படும். —எல். இராஜகோபாலன்