ஓர் ஒழுங்கு முறையில், அணுக்களைத் தன்னுள்ளே கொண்ட ஓர் அடிப்படை அலகை, முப்பரிமாணங்களிலும் அமைக்கும் போது அல்லது அடுக்கும் போது, படிக வடிவம் கிடைக்கிறது. அணுக்கள் அமைக்கப்பட்டுள்ள விதம், அதன் வகை, பண்புகள் முதலானவற்றை படிகவியல் (crystalography) விளக்குகிறது.படிகப் பரிமாணங்கள். படிகத்தில் மூல மையத்தை வைத்து, மூலக் கூறு அணுக்களின் தானங்களை (positions) கன சதுரம், கன செவ்வகம் போன்ற வடிவமைப்புகளில் காண முடியும். மூலக் கூறுகளின் முப்பரிமாண அணியீடுகளால் தானங்கள் (positions), வரிசைகள் (stacks), இணை வரிசைகள் (parallel stacks), தளங்கள் (planes), இணை தளங்களும் (parallel planes) ஆகின்றன. இவற்றை அறுதியிட மூன்று அச்சுகள் தேவை. படிக அச்சுகள் திசையளவுகளாகும். (சர்வதேச, வலது பழக்க சங்கேதப் படியான) a,b,c என்னும் திசையளவு அச்சுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகவோ, செங்குத்தின்றியோ இருக்கலாம். அதாவது, இவற்றிடையே காணும் இடைவெளிக் கோணங்கள் 90° அல்லது பொதுவாக எனக் கொள்ளலாம். இவற்றை அடிப்படையாக வைத்து எனும் நிலையளவுடைய ஓர் எளிய ஒற்றைக் கூடு கன வடிவத்தை ஆக்கலாம். இத்தன்மையில், ஒற்றைக் கூட்டின் மூலக் கூறு அணுக்களின் தானங்களைப் பின் வருமாறு பொதுவாகக் குறிக்கலாம். மூலக்கூறு (X,Y,Z) அணுக்களின் அளவெண்கள், (a,b,c) எனும் ஒற்றைக் கூடு அளவைகள் மற்றும் α, β, γ எனும் அச்சிட வெளிக் கோணங்கள் ஆகியவை படிகப் பரிமாணங்களாம். சமச் சீரமைவு. கொடுக்கப் பட்டுள்ள அணுக்களின் அமைப்பைக் கருதி, அதனை, அதன் தளத்திற்குச் செங்குத்தான அச்சை வைத்துச் சுழற்றினால், ஒரு முழுச் சுற்றிற்குப் பிறகு, அதன் அமைப்பில் எந்த வித மாறுதலையும் காண முடிவதில்லை. அதாவது, தொடக்க நிலையிலிருந்து வேறு படுத்திக் காண முடியாத நிலையை அடைகிறது. அப்படிப் பட்ட அமைப்புச் சம ச்சீரமைவு (symmetry) எனப் படும். தளத்திற்குச் செங்குத்தாகக் கருதப்பட்ட அச்சு சமச் சீரமைவு அச்சு எனப் படும். சான்றாக, கால்சியம் கார்போனேட் படிகத்தில் CO₃ இன் மையத்தில், கார்பன் அணுவும் (C) , அதனைச் சுற்றி, மூன்று ஆக்சிஜன் (O) அணுக்களும் 120° இடைவெளியில் அமைக்கப் பட்டுள்ளன தளத்திற்கு செங்குத்தாக, ஓர் அச்சைக் கற்பனையில் வைத்து, இந்த அமைப்பு 120° சுழற்றப் பட்டால், முன்பிருந்த நிலையையே அடைந்தது போல் காணப் படுகிறது. இது போல், மீண்டும் ஒரு முறை 120° அமைப்பைச் சுழற்றினால், பழைய நிலையை யடைகிறது. மறுபடியும், ஒருமுறை இந்த மாதிரிச் செய்ய முடியும். அந்தக் கற்பனை அச்சுக்கு மும்முறை சமச் சீரமைவு அச்சு எனப்பெயர். சுருக்கமாக இதன் பெயர் மும்முறை அச்சு என்பது. ஆகவே ஒரு பொருள் n முறைச் சமச் சீரமைவு உடையது என்றால், அந்த அச்சை வைத்து, அப்பொருளை 360/n பாகைகளாகச் சுழற்றலாம். அப்போது அதன் அமைப்பில், தொடக்க நிலையிலிருந்து வேறுபடுத்திக் காண முடியாத நிலை உருவாகும். சமச் சீரமைவுத் தளம். இது போலச் சதுர வடிவமான அமைப்பிற்கு, நான்கு முறைச் சமச் சீரமைவு உள்ளது. அப்படிப் பட்ட சதுர அமைப்பில், மூலை விட்டங்கள் அதனைச் சம பகுதிகளாகப் பிரிக்கும். எதிரெதிர் பக்கங்களின் மையங்கள் வழியே செல்லும் நடுக் கோடுகளும் அச்சதுர அமைப்பைச் சமபகுதிகளாக வெட்டும். வெட்டப் பட்ட முகத்தில், செங்குத்தாக ஓர் ஆடி இருப்பதாகக் கொண்டால், சதுர அமைப்பின் ஒரு பகுதி, ஆடியில் தோன்றும் மற்றொரு பகுதிக்குச் சமமாக இருக்கும். இவ்வாறு நேர்கையில், அந்தத் தளம் சமச் சீரமைவுத் தளம் எனப் படுகிறது. படம் 3இல் இது காட்டப் பட்டுள்ளது.AB, A’B’ மற்றும் CD, C’D’ ஆகியவை சதுர அமைப்பை சம பகுதிகளாப் பிரிக்கின்றன. ஆகவே, சதுர அமைப்பின் நான்கு சமச் சீரமைவுத் தளங்களும், ஒரு நான்கு முறை சமச் சீரமைவு அச்சும் உள்ளன. சதுர அமைப்பில் இரு வகையான உறுப்புகள் உள்ளன. இவை கூட்டாகச் சீரமைவு உறுப்புகள் (symmetry elements) ஆகும். சமச் சீரமைவு மையம். பொருள், செவ்வக உருவம் உடையதாயின், அதற்கு மூன்று, நான்கு முறைச் சமச் சீரமைவு அச்சுக்களும், மூன்று சமச் சீரமைவு தளங்களும் உள்ளன. இவைகளைத் தவிர, மற்றோர் உறுப்பு உள்ளது. அதற்குப் பெயர் சமச் சீரமைவு மையம் ஆகும். அதாவது, இம்மையத்திலிருந்து, ஒரு தொலைவில் இருக்கிற புள்ளிக் கருதப் பட்டால், அதனை ஒத்த மற்றொரு புள்ளி அந்த உருவத்தில் இருக்கிறது. முதலில் சொன்ன புள்ளியின் திசைக்கு, எதிர்த் திசையிலும் அதே அளவு தொலைவிலும் உள்ளதைக் காணலாம். A என்பது படத்தில், சமச் சீரமைவு மையம் என்று கொண்டால், B என்ற புள்ளியை ஒத்த B’ என்ற புள்ளியும், C என்பதற்கு C’ என்பதும் கிடைக்கிறது. AB, A’B’ ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று சமம். Aஐ மையமாகக் கொண்டு, அதன் வழியே ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாய் அமைந்த மூன்று அச்சுக்களைக் கருதினால், கொடுக்கப் பட்ட ஒரு புள்ளியை ஒத்த மற்றோரு புள்ளியை எளிதாக அறிய முடியும். முன்னதன் ஆயத் தொலைவுகள் \overline x, \overline y, \overline z என்றால், பின்னதன் ஆயத் தொலைவுகள் \overline x, \overline y, \overline z என்று ஆகும். சதுர வடிவப் பாதையில் இது கிடையாது. கூட்டுச் சமச் சீரமைவு உறுப்பு. இது நான்கு இரு பக்க முக்கோணங்கள் கொண்டது. ABC,A8D,CAD,CBD ஆகியவை அம்முக்கோணங்கள். AB, CD விளிம்புகள் குட்டையானவை. XY அச்சு AB, CD ஆகியவற்றின் மையம் வழியே செல்கிறது. XY அச்சை வைத்து, இவ்வுருவகம் 80° சுழற்றப் பட்டால், தொடக்க நிலை போன்ற ஒரு நிலையை இது அடைகிறது. இதற்கு XY அச்சு இரு முறை சமச் சீரமைவு அச்சாகும். E,F என்பன முறையே ABC, CDF என்ற பக்கங்களின் மையங்கள், ABE தளமும், CDF தளமும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாய் உள்ளன. XY அச்சை ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன. இது போல, இவ்வுருவகத்திற்கு ஒரு சுருக்கமான தலை கீழ் திருப்ப அச்சு (inversion axis) என்பதும் உண்டு. சமச் சீரமைவு அச்சு மற்றும் தலை கீழ் திருப்ப அச்சு ஆகியவை கூட்டுச் சீரமைவு உறுப்புகள் (Combination of Symmetry elements) ஆகும். புறச் சமச் சீரமைவு, அகச் சமச் சீரமைவு. சில படிகங்களில் இவ்விதமான சமச் சீரமைவுகள் வெளிப்புறத்தேக் காணப் படுகிறது. அது புறச் சமச் சீரமைவு (extemal Symmetry) ஆகும். படிகத்தின் உட்புறத்திலே அணுக்கள், மூலக் கூறுகள் ஆகியவைகளின அமைப்பில், ஒரு சீரமைவுக் காணப் படுகிறது. இதனை, அகச் சமச் சீரமைவு (internal symmetry) எனக் கூறுவர். புறச் சமச் சீரமைவு என்பது அதன் சமச் சீரமைவு அச்சுகள், சமச் சீரமைவுத் தளங்கள், சமச் சீரமைவு மையம் போன்ற சீரமைவு உறுப்புகளாக விளக்கப் படுகிறது. புள்ளித் தொகுப்பு. சதுர அமைப்பு, செவ்வகம், ஸ்ஃபெனாய்ட் அமைப்பு ஆகியவைகளில் சீரமைவுச் செயல்கள் நிகழ்கையில், ஒரே ஒரு புள்ளி மட்டும் எவ்வித மாறுதலையும் அடையாது இயங்குகிறது. பொருளின் மற்ற புள்ளிகள் எல்லாம் இப்புள்ளியிலிருந்து மாறாத தொலைவில் அமையும். இவ்வாறு, ஒரு புள்ளியை மையமாகக் கொண்டு நிகழும் சமச் சீரமைவுச் செய்கைகளின் தொகுப்பு, புள்ளித் தொகுப்பு என்பது. மொத்தமாக 32 புள்ளித் தொகுப்புகள் உள்ளன. அவை ஏழு வித அமைப்புகளில் அடங்கியுள்ளன. படிகத்தில் அகச் சீரமைவு. படிகத்தின் அணுக்கள் ஒழுங்கான அமைப்பில், மீண்டும், மீண்டும் வருகிற மாதிரி முப்பரிமாணத்தில் அமைகின்றன. இந்த அடிப்படை அமைப்புக்குப படிகத்தின் கட்டலகு என்று பெயர். ஒரு கட்டலகில் ஒரு புள்ளி கருதப் படுகிறது. பிற அனைத்துக் கட்டலகிலும் இப்புள்ளியைப் போன்று, பல புள்ளிகளைக் காணலாம். இப்புள்ளிகள் வழியே, மூன்று திசைகளிலும் (x,y,z) இணை கோடுகள் வரையப் பட்டால் கிடைக்கும் முப்பரிமாண அமைப்புக்கு அணிக் கோவை எனப் பெயர். இத்தகையப் புள்ளிகள் அணிக் கோவைப் புள்ளிகள் (lattice points) ஆகும். OA, OB, OC என்ற விளிம்புகளைக் கொண்ட சிறிய பகுதிக்கு அலகு செல் (unit cell) என்று பெயர். இந்தச் செல்கள் ஓர் இடத்தை இடைவெளியின்றி அடைக்க வேண்டுமானால், அவை சதுரம், செவ்வகம், சாய்வு சதுரம் (முப்பட்டகம்) வடிவத்தை உடையதாக இருக்க வேண்டும். ஆனால், அதே வெளியிடம் ஐந்து முகம், ஏழு முக வடிவம் கொண்ட அல்லது எட்டு முக வடிவம் உடைய அலகு செல்களால் இடைவெளியின்றி அடைக்கப் பட மாட்டாது என்பது படம் 8இல் இருந்து தெளிவாகிறது. படிகவியல் அச்சுகள். படிகத்தின் ஒரு புள்ளியில் சில நேரங்களில், 3 கோடுகள் சந்திக்கும். சில சமயம் நான்கு கோடுகளும் சந்திக்கும் . படிகத்தின் சிறப்பியல்புகளை இக்கோடுகள் எடுத்துக்காட்டும். இக்கோடுகள் படிகவியல் அச்சுகள் ஆகும். இவை சமச் சீரமைவு அச்சுகளுடன் ஒன்றியோ அல்லது இணையாகவோ அமையும். அதே நேரத்தில் முதன்மை முகங்களின் விளிம்பிற்கு இணையாகவோ அல்லது சமச் சீரமைவுத் தளங்களுக்குச் செங்குத்தாகவோ செயற்படும் பல படிகங்களில் இக்கோடுகள் வெவ்வேறு கோணங்களில் சாய்ந்து உள்ளன. ஒற்றைக் கூடுகள். ஒரு கன வடிவத்தின் பக்கங்கள், அவற்றின் அளவுகள், அச்சிடைக் கோணங்கள் ஆகிய வற்றை வைத்து, படிகங்கள் எவ்வகை படிக நிலையைச் சார்ந்தவை என்பதை அறியலாம். அது போல், ஒற்றைக் கூட்டினுள் அமைந்துள்ள மூலக் கூறு அல்லது அணுக்களின் ஒவ்வொரு வெளி அளவெண்ணையும் வைத்து, அது எந்த ஒற்றைக் கூட்டைச் சேர்ந்ததென்றும் அறுதியிட முடிகிறது. அதன்படி ஒவ்வொரு படிகத்துக்கும் அதற்குரிய படிக அமைப்பு இருக்கும். எ–டு. செம்பு கன சதுர படிகத் தொகுதியின் பக்க மைய ஒற்றைக் கூட்டைச் சார்ந்து, அதற்குரிய a = 0.36147 nm (nm = 10¹¹ மீட்டர்) எனும் படிக அளவைப் பெறுகிறது. அதாவது, எந்த ஒரு பொருள் கன சதுர பக்க மைய படிக நிலையைச் சார்ந்து A= 0.36147nm எனும் படிக அளவைப் பெறுகின்றதோ, அது செம்பாகவே இருக்க முடியும். படிகத் தொகுதிகளின் ஒற்றைக் கூடுகள் பற்றிய அமைப்புகளை படம் 9இல் காணலாம். கன வடிவ அமைப்புகளைக் கொண்ட ஒற்றைக் கூடுகளின் மூலக் கூறுகள் அல்லது அணுக்கள் ஒவ்வொன்றும் தனக்குரிய ஒற்றைக் கூட்டிற்கு மட்டுமல்லாது, அண்டையிலுள்ள ஒற்றைக் கூடுகளுடன் பகிர்ந்து கொள்ளும். எ–டு: ஓர் ஒற்றைக் கூட்டின் எட்டு மூலைகளுக்கான மூலக் கூறுகள் அல்லது அணுக்கள், எட்டு அண்மை ஒற்றைக் கூடுகளுடன் பங்கிடப் படுகின்றன. இதனால், இந்த எட்டு மூலை அணுக்களும் சேர்ந்து, (8/-1) ஒரே ஒரு அணுவுக்குரிய பங்கை மட்டுமே தனக்குரிய ஒற்றைக் கூட்டிற்கு அளிக்கின்றன. மொத்தத்தில் ஒற்றைக் கூடுகளில் பொது நிலையிலுள்ள எளிய (P), அடி மைய (C), பக்க மைய (F), உரு மைய (I)தானங்களில் அமைந்திருக்கும் அணுக்கள், அவற்றின் வெளி அளவெண்கள், பகிர்ந்திடும் அண்டை ஒற்றைக் கூடுகள் ஆகியன பற்றிய விபரங்கள் அட்டவணை 2இல் விளக்கப் பட்டுள்ளன. மேலே குறிப்பிட்ட விளக்கங்கள் தனிம அணுக்களுக்கு மட்டுமின்றி, மூலக் கூறு அல்லது அயனிகளுக்கும், (புள்ளிகளுக்கும் கூட) பொருந்துமாகையால், மூலக் கூறிலுள்ள அணுக்கள், ஓர் ஒற்றைக் கூட்டின் பொதுவான, சிறப்பு தானங்களின் வெளி அளவெண்கள் பின்னங்களிலும் வரலாம். எ–டு: உருமைய அணுவின் தானம் (½ ½ ½) ஆகும்; (2): X + ½, Y½ -2) என்பதில் x = 0.333, y = 0.250, z = 0.600 என்றால், (0.833, 0.250 - 0.1000) என்பது அந்தத் தானத்தின் வெளி அளவெண்களாகும். சமக் கூறு தனிமங்கள். படிகங்களைப் புற நிலையில் பார்க்கும் போது கூட, அவற்றின் பக்கங்கள் ஒரு வித ஒழுங்குடன் இருப்பதைக் காணலாம். இதனாலும், மற்றும் வெப்ப நீட்சி (thermal expansion), மீட்சி மற்றும் ஒளி எண்கள் (optical constants) போன்ற இயற்பியல் தன்மைகளை ஆய்வுகள் மூலம் கண்டறிந்த உண்மையாலும், படிகங்களில் வரையறுக்கப் பட்ட சில சமக் கூறுகள் இருக்க வேண்டும் என்பதை அறிய முடிகிறது. அவ்வாறே 32 அடிப்படையான சமச் கூறுகள் அறியப் பட்டுள்ளன. இவை சுற்றச்சு (rotation axis), பிரதிபலிப்பு /சமக் கூறு தளம், தலை கீழ் மையம் (inversion centre) தலை கீழ்ச் சுற்று மையம் ஆகிய சமக் கூறு தனிமங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டு ஆக்கப் பட்டவையாகும். சுற்றச்சு சமக் கூறுகள். படிக அச்சுகளை மையமாகக் கொண்டதொரு புள்ளி, ஏதேனும் ஒரு படிக அச்சைச் சார்ந்து, சரியாக 1800 சுற்றினால் அமையும் தானமே 2 மடிப்பு சமக் கூறுடையதாகும்; இந்த நகர்வுக்குரிய சமக் கூறு தனிமத்திற்கு 2–மடிப்பு சுற்றச்சு என்பதாம். எ–டு: வ்–படிக அச்சை மையமாகக் கொண்ட புள்ளி நி (yz)யின் 2–மடிப்பு சுற்றச்சின் சமக் கூறு A' \big( \overline {x}, \overline {y}, \overline {z} \big) ஆகும். இது போல், 360°;120°;90°; 60° கோணங்களில், ஒரு புள்ளியிலிருந்து மற்றொரு புள்ளிக்குச் சுற்றிச் செல்லும் போது, முறையே 1-,3-,4, 6- மடிப்புடைய சமக் கூறுகள் விளைகின்றன. (படம் 3) பொதுவாக, படிகவியலின் படி 5-மடிப்பு சமக் கூறு அமைய வாய்ப்பில்லை. (படிக அமைப்பைக் கொண்டு படிகத் தன்மையற்ற நிலைகளைக் காட்டும் சில உலோகக் கலவையில் 5–மடிப்பு சமக் கூறு அமைய காட்டும் சில உலோகக் கலவைகளில் 5–மடிப்புடைய சமக் கூறும் இருக்க முடியுமென அண்மையில் அறியப் பட்டுள்ளது). எதிரொளிப்பு சமக் கூறு தளம். ஒரு படிக தளத்தைச் சார்ந்த புள்ளியின் கண்ணாடி பிம்ப நிலையில், மற்றொரு புள்ளி இருப்பின், அது எதிரொளிப்பு சமக் கூறாகும்; பிம்ப நிலைக்குள்ளாக்கும் தளமே, எதிரொளிப்பு சமக் கூறு தளமாகும். எ–டு: (o,k,l) படிகத் தளத்தை ஆதாரமாகக் கொண்ட புள்ளி A(x y z)இன் எதிரொளிப்பு சமக் கூறு A' \big( \overline {x}, \overline {y}, \overline {z} \big) ஆகும். எதிரொளிப்பு, 2–மடிப்பு சமக் கூறுகளுக்கிடையே உள்ள வேறுபாட்டை அவற்றின் அளவெண்களிலிருந்து அறியலாம். தலை கீழ் மையம் ,/ தலை கீழ்ச் சுற்று மையம். ஒரு புள்ளி A(x y z) ஒரு மையத்தை (0–ஐ) மையமாகக் கொண்டு, தலை கீழ் தானத்திலுள்ள A' \big( \overline {x}, \overline {y}, \overline {z} \big) புள்ளிக்குச் சென்றால், அந்த மையம் தலை கீழ் மையம் எனப் படும். (படம் 4). அதே சமயத்தில் ஒரு படிக அச்சைச் சார்ந்த சுற்றச்சு மற்றும் ஒரு புள்ளியைச் சார்ந்த தலை கீழ்ப் பெயர்ச்சி ஆகிய இரண்டு சமக் கூறுகளையும் இணைத்துப் பெற்ற சமக் கூறு தனிமமே தலை கீழ்ச் சுற்று மையம் ஆகும். சுற்றச்சில் 1,2,3,4,6 மடிப்பு சமக் கூறுகள் இருப்பதால், இவை ஒவ்வொன்றுடனும் தலை கீழ் மைய சமக் கூறு இணைந்து, \overline {1}, \overline {2}, \overline {3}, \overline {4}, \overline {6} எனும் (அந்தந்த மடிப்புடைய) தலை கீழ்ச் சுற்று மைய சமக் கூறுகள் அமைகின்றன. எ–டு: Z–அச்சைச் சார்ந்த 2–மடிப்பு தலை கீழ்ச் சுற்று மைய சமக் கூறின்படி முதலில் உள்ள புள்ளி A' \big( \overline {x}, \overline {y}, \overline {z} \big) 180° கோணத்தில் சுற்றி, தானத்தை அடைந்து, பின் ஆதார மையம் அல்லது தலை கீழ்ச் சுற்று மையம் வழியாகக் கீழே வரும் போது, A”(x,y,z)ஐ வந்தடைகிறது. இதுவே 2–மடிப்பு தலை கீழ்ச் சுற்று மைய சமக் கூறாகும். படம் (4ஆ) இந்த 2–மடிப்புடைய சமக் கூறு இன்னொரு முறை நகர்ந்தால், தொடக்க நிலை aஐ அடைகிறது. அதாவது, A' \big( x, y, \overline {z} \big) இலிருந்து \big( \overline {x}, \overline {y}, \overline {z} \big) எனும் மற்றொரு இடைநிலைக்கு வந்தபின், தலை கீழ்ச் சுற்று மைய சமக் கூறினால் A’(x,y,Z) எனும் தொடக்க நிலையையே அடைகிறது. படிகத் தொகுதிகளின் சமக் கூறுகள். சுற்றுச்சு, எதிரொளிப்புத் தனம், மற்றும் தலை கீழ்ச் சுற்று மையம் ஆகிய சமக் கூறு தனிமங்கள் தனித் தனியாகவோ, இணைந்தோ, அமைந்த புள்ளித் தொகுதிகள், ஒவ்வொரு படிகத் தொகுதி / ஒற்றைக் கூடுகளுக்கும் இன்னதென்று பெறப் பட்டுள்ளன. எ–டு: சமக் கூறே இல்லாத அல்லது 1–மடிப்பு சுற்றச்சைக் கொண்ட முப்பட்டை கனச் செவ்வகத்தை விட ஒரு 6–மடிப்பு சுற்றச்சுடைய அறுபக்க அளவகம் அல்லது நான்கு 3–மடிப்பு சுற்றச்சுகளைக் கொண்ட கன சதுரம் எவ்வளவோ செறிந்த சமக் கூறுகளைப் பெற்று, அடர்த்தியான அணுக்களை உள்ளடக்கிய படிகங்களாகத் திகழ்கின்றன. பதினான்கு ஒற்றைக் கூடுகட்குரிய முழுமையான (புள்ளித் தொகுதி) 32 சமக் கூறுகளை அவற்றிற்குரிய குறிப்புகளுடன் அட்டவணை 5இல் காணலாம். எ–டு:1. ஒரு கோண கனச் செவ்வகத்தில் எதிரொளிப்புத் தளம்(m), ஒரு 2–மடிப்புச் சுற்றச்சு (2) அல்லது 2–மடிப்புச் சுற்றச்சுக்கு இணையாக எதிரொளிப்புத் தளச் (2/m) சமக் கூறுகளைப் பெற்றிருக்கும். எ–டு: ஒரு 4–மடிப்புத் தலை கீழ்ச் சுற்று மையம் அல்லது சமக் கூறு மையம் (4) அல்லது I–படிக அச்சைச் சார்ந்த 4–மடிப்புச் சுற்றச்சுடன் b–மற்றும் c A–படிக அச்சுகளையும் சார்ந்த 2–மடிப்புச் சுற்றச்சுகளையும் கொண்டிருக்கும் ஒரு படிகமானது சதுர கனச் செவ்வகம் என முடிவுறலாம். வெளித் தொகுதிச் சம கூறுகள். புள்ளித் தொகுதியின் 32 சம கூறுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டு, சறுக்கு தளம், திருகு அச்சு சமக் கூறுகளுடன் இணைந்து அல்லது தனித் தனியாக இயங்கி, முப்பரிமாண நிலையில் மொத்தம் 230 வெளித் தொகுதிச் சமக் கூறுகளே படிகவியலில் இயங்கும் என்பதாக வரையறுக்கப் பட்டுள்ளன. ஆக, ஏழு படிகத் தொகுதிகள், 14–ஒற்றைக் கூடுகள், 32–புள்ளித் தொகுதி சமக் கூறுகள் என்றாகி, இறுதியில் 230–வெளித் தொகுதி சமக் கூறுகளே படிகத் தன்மை கொண்ட படிகங்கட்கும் அடிப்படையாகின்றன என்று அறியலாம். சறுக்குத் தளம். எதிரொளிப்பும், நகர்வும் இணைந்த தனிமமே சறுக்குத் தளம். எ–டு: எதிரொளிப்புத் தளத்தைப் போன்று hk–சறுக்குத் தளத்தைச் (gg) ஐச் சார்ந்த புள்ளி A(x,y,Z)இலிருந்து, முதலில் எதிரொளிப்புடைய சமக் கூறு தானத்தை (x, y, z)இல் அடைந்து, பின்னர், அந்தச் சறுக்குத் தளத்திற்கு இணையாக b/2 நகர்வு செய்து, A(x,y + ½, \overline {z})ஐ அடைகிறது. பொதுவாக, சறுக்குத் தள சமக் கூறின் அணுவின் நகர்வானது சறுக்குத் தளத்திற்கு இணையாகவும். a, b, c எனும் சறுக்குத் தள குறியீட்டிற்கு முறையே a/2 b/2, c/2 அளவு நகர்வும், 0–குறியீட்டுச் சறுக்கு தளத்திற்கு \big( \frac {a+b}{2} \big), \big( \frac {a+c}{2} \big), \big( \frac {b+c}{2} \big) அளவு, அதாவது, அரை வட்ட நகர்வும் d–குறியீட்டுச் சறுக்கு தளத்திற்கு \big( \frac {a+b}{4} \big), \big( \frac {a+c}{4} \big), \big( \frac {b+c}{4} \big) அளவு {அதாவது, கால் வட்ட) நகர்வும் கொண்டதாகும். திருகு அச்சு. சுற்றச்சும், நகர்வும் இணைந்த தனிமமே திருகு அச்சு எனப்படும். எ–டு: 2i என்ற b–அச்சை மையமாகக் கொண்ட திருகு அச்சின் பள்ளி A(x, y, z), முதலில் 180° சுற்றிச் சுற்றச்சு தானம் A’(x, y, z)ஐ வந்தடைந்து, பின் b–திசையில் b/2 அளவு நகர்ந்து A’(x,y+½, z) எனும் புள்ளியை அடைகிறது. இந்த a–இன் தானமே b–இன் 2i சுற்றச்சுக்கான சமக் கூறு. இது தவிர, 3₁ , 3₂ சமக் கூறுகளில் 120° வலது / இடது சுற்றுடன் ⅓ அளவு நகர்வும் அமையப் பெறும். இது போல் 4₁ , 4₂, 4₃ மற்றும் 6₁ , 6₂, 6₃, 6₄ , 6₆ உம் இடம் பெறும். இவற்றின் முழு விளக்கங்களைப் படம் 2 மற்றும் அட்டவணை 6இலிருந்தும் அறியலாம். வெளித் தொகுதிச் சமக் கூறுகள். முப்பரிமாண படிக ஒற்றைக் கூட்டைப் பல வித கோணங்களில், இரு பரிமாண வரை படங்களால் அறியலாம். அதன் படியாக ஓர் ஒற்றைக் கூட்டின் வெளித் தொகுதிச் சமக் கூறுகளை அமைக்கலாம். வெளித் தொகுதிச் சமக் கூறுகளால் சமமான தானங்களில் சமமான அணுக்கள் காணப் படுவதால், அப்படிகத்தில் அத்தன்மையான அணுக்களின் ‘பெருக்கீடு’ என்றொரு பரிமாணத்தையும் அறிந்து, எடுத்தாள வேண்டியுள்ளது. அவற்றின் முழு விபரங்களும் 230–சமக் கூறுகளின் படிக நிலைகளும் x–கதிர் படிகவியலின் சர்வ தேச அட்டவணைகள் அடங்கிய நான்கு படிகங்களில் முதல் படிமப் புத்தகத்தில் காணலாம். அவற்றின் ஒன்றிரண்டை மட்டும் இங்கு காணலாம். வெளித் தொகுதி d_2^3 - P2,2,2 இன் படிக நிலை. d_2^3 எனும் பழைய குறியூடு கனச் செவ்வகத்தைக் குறிப்பதாலும், P என்பது எளிய ஒற்றைக் கூடு என்பதாலும், இது எளிய வகைக் கனச் செவ்வகம் எனும் படிகத் தொகுதியைச் சார்ந்ததாகும். அடுத்துக் காணப்படும் சமக் கூறு தனிமங்கள் மூன்றும் முறையே a,b,c எனும் மூன்று படிக அச்சுகளைச் சார்ந்த சமச் கூறுகளாகும். அதாவது, a,b+ படிக அச்சுகளைச் சார்ந்த சமக் கூறுகளாகும். அறு கோண கனச் செவ்வகம்; என்று அடுத்து வரும் ஈ என்பது அடி மைய ஒற்றைக் கூடு. அதற்கடுத்து a, c அச்சுகளைச் சார்ந்து 2, திருகு அச்சு சமக் கூறுகளும், c–அச்சைச் சார்ந்து 2-மடிப்புச் சுற்றச்சு சமக் கூறும் கொண்டதாகிறது. அதன் படி, விளையும் அளவெண்கள் மற்றும் பெருக்கீடு விபரத்தை அட்டவணை 7இல் காணலாம். வெளித் தொகுதி C_2^3 - C121இன் படிக நிலை. C_2^3 என்பதால், ஒரு கோண கனச் செவ்வகம்; அடுத்து வரும் c என்பது அடி மைய ஒற்றைக் கூடு. அதற்கடுத்து a, c அச்சுகளைச் சார்ந்து, எவ்விதச் சமக் கூறுகளும் இல்லாத தாகையால், b–அச்சுகளைச் சார்ந்து மட்டும் 2—மடிப்பு சுற்றச்சு உள்ளது. எனவே, அடி மையம் மற்றும் 2–மடிப்பு சுற்றச்சுச் சமக் கூறுகளிள் பொது அளவெண்கள் சர்வ தேச அட்டவணை (3)இல் உள்ளபடி, (0,0,0; 1/2,1/2,0), (x, y,z; \overline {x}, \overline {y}, \overline {z}) ஆகும். அதாவது (x, y, z); ( \overline {x}, \overline {y}, \overline {z}) ( \frac{1}{2} +x , \frac{1}{2} +y, z; x,\frac{1}{2} +y, z) என்பதாகும். படம் 5இல் உள்ள இப்படிக நிலையில் + எனும் குறி காகிதக் கிடைத் தளத்திற்கு மேலே உள்ள z+ அளவெண்ணையும் குறிப்பதாகும். தனிப் படிகங்களைக் கொடுத்து, அதன் படிகவியல் விபரங்களை அறிய x-கதிர் விளிம்பு விலகல் ஆய்வு மூலமாக, முதலில் படிகப் பரிமாணங்கள் மற்றும் சமக் கூறுகள் பற்றிய விபரங்களை அறிந்த பின், ஒற்றைக் கூட்டிலுள்ள அணுக்களின் அளவெண்கள், அசைவுகள் போன்ற நுண்ணியல் விபரங்களையும், மேற்கண்ட படிகவியல் அடிப்படையில் பெறலாம். இந்த முறையில் அறியப் படும் படிகம் மற்றும் மூலக் கூறு அமைப்புகளின் விவரங்கள் துல்லியமானவையாகவும், உறுதி செய்பவையாகவும் இருக்கும். ——அறியணன் மணி —கி. விஸ்வநாதன் —இல. வைத்திலிங்கம்