படிகவியல் தன்மையுள்ள திண்மப் பொருள் ஒன்றில், அணுக்கள் அல்லது அயனிகள் அமைந்திருக்கும் நிலையை விவரிப்பது படிகக் கட்டமைப்பு (crystal structure) எனப் படும். படிகம் ஒன்றில், அணுக்கள் அமைந்திருக்கும் விதம் திண்ம நிலை இயற்பியல், வேதியியல், உலோகவியல், நில வேதியியல் போன்ற பல துறைகளிலும் மேற்கொள்ளப் படும் ஆய்வுகளில், முதன்மை வாய்ந்தது. எக்ஸ் கதிர்கள் படிகங்களால், விளிம்பு விளைவிற்கு உட்படுத்தப் படுகின்றன என்னும் உண்மையை 1912–இல் வான் லூவே, ஃபிரட்ரிக், நிப்பிங் ஆகிய ஆய்வாளர்களின் ஆய்வுகள் வெளிப் படுத்தின. அவர்களின் ஆய்வுகளுக்குப் பின்னரே, திண்மப் பொருள்களின் அணுக்கள், அயனிகள் ஆகியவை ஒரு குறிப்பிட்ட சீரான அமைப்பில் அமைந்திருப்பது தெரிய வந்தது. எலெக்ட்ரான் விளிம்பு விளைவு, நியூட்ரான் விளிம்பு விளைவு போன்ற ஆய்வுகள், படிகங்களின் பகுப்பாய்வுகளில் பயன் படுகின்றன. எனினும், படிகங்களின் கட்டமைப்புப் பற்றிய விவரங்கள் குறிப்பாக எக்ஸ் கதிர் விளிம்பு விளைவு முறையினாலேயே அறியப் பட்டுள்ளன. இட அணிக் கோவை. இட அணிக் கோவை என்பது, முப்பரிமாணத்தில் வரம்பிலா அளவு விரிந்து செல்லும் புள்ளிகளின் வரிசையைக் குறிக்கும். படிகக் கட்டமைப்பு. உருவ அமைப்பிலும், வரிசை அமைப்பிலும், அடுக்கப் படும் திசையிலும், முற்றிலும் ஒத்திருக்கக் கூடிய அணுக்களின் தொகுதியை, ஒவ்வோர் அணிக் கோவைப் புள்ளியிலும் கொண்டுள்ள அமைப்பு, படிகக் கட்டமைப்பு எனப் படும். படிகங்களை ஆய்வு செய்து, ஒரு படிகத்தின் தன்மைகள் அனைத்தையும் கொண்டுள்ள ஓர் அடிப்படை அலகு, ஒவ்வொரு படிகத்திலும் இருக்க வேண்டும் என்று உணரப் பட்டுள்ளது. அதாவது, படிகத்தின் தன்மைகள் அனைத்தையும் கொண்டுள்ள ஓர் அடிப்படை அலகின் தொகுப்பால் படிகம் உருவாக்கப் படுகிறது. அலகு அறை. OABC என்பது படம் 1 இல் காட்டியுள்ளது போல் \overline {OA}, \overline {OB}, \overline {OC} என்னும் மூன்று வெக்டர்களால் வரையறுக்கப் படும் ஓர் இணைகரத் திண்மம், அதன் முனைகளில் உள்ள கணிதவியல் புள்ளிகளைக் கருதும் போது, \overline {OA}, \overline {OB}, \overline {OC} ஆகிய நீளங்களுக்குச் சமமாகவும், அவற்றிற்கு இணையாகவும் ஏற்படுத்தப் படும் இடப் பெயர்ச்சிகளால், இட அணிக் கோவையைப் பெறலாம். தள அணிக் கோவையிலோ முப்பரிமான அணிக் கோவையிலோ, அடுத்தடுத்த புள்ளிகளைச் சேர்ப்பதால் கிடைக்கும் வடிவத்திற்கு, அலகு அறை (Unit Cell) என்று பெயர். ஓர் அலகு அறை அதன் விளிம்புகளின் நீளங்களாலும், அவற்றிற்கிடைப்பட்ட கோணங்களாலும் வரையறுக்கப் படுகிறது. \overline {OA} = a, \overline {OB}= b, \overline {OC} = c எனவும், a க்கும் b–க்கும் இடைப்பட்ட கோணத்தை γ எனவும், bக்கும் cக்கும் இடைப்பட்ட கோணத்தை α எனவும், cக்கும் aக்கும் இடைப்பட்ட கோணத்தை β எனவும் கொள்வது மரபு. \overline {OA}, \overline {OB}, \overline {OC} என்னும் வெக்டர்கள் படிகத்தின் அச்சுகளை வரையறுக்கின்றன. அணிக்கோவை மாறிலிகள் எனப்படும். OA, OB, OC ஆகிய திசைகளை அச்சுகளாகவும், ABC–ஐ அலகு தளமாகவும் கொண்டு, மில்லர் சுட்டெண் மூலமாக அனைத்துத் தளங்களையும் வரிசைகளையும் குறிக்கலாம். மில்லர் சுட்டெண்கள். ஒரு படிகத்தின் தளத்தில் நிலையும், அது நிலை பெற்றிருக்கும் திசையும், அத்தளத்தில் நேர் கோட்டில் அமையாத மூன்று புள்ளிகளால் வரையறுக்கப் படும். அந்தப் புள்ளிகள் படிக அச்சின் திசைகளில் அமைந்து விட்டால், அப்புள்ளிகளின் தொலைவை அணிக் கோவை மாறிலிகள் வாயிலாகவே குறிப்பிட்டு, அவற்றுக்குரிய தளத்தையும் குறித்து விடலாம். எடுத்துக் காட்டாக, ஏதேனுமோர் ஆய ஆதியிலிருந்து அச்சு வெக்டர்களின் சார்பாகப் புள்ளிகளின் ஆயத் தொலைவுகள் (4,0,0), (0,1,0), (0,0,2) என இருந்தால், அப்புள்ளிகளை 4,1,2 என்னும் எண்களால் குறித்து விடலாம். ஆனால், படிகங்களின் கட்டமைப்புப் பகுப்பாய்வில் கீழ்க் காணும் விதிகளின் படி வரையறுக்கப் படும் சுட்டெண்கள் வாயிலாக, படிகங்களின் தளங்களைக் குறிப்பது மிகவும் பயனுடையது. 1. \overline a, \overline b, \overline c ஆகிய அச்சுகளின் மூன்று புள்ளிகளால் வரையறுக்கப் படும் தளம் ஏற்படுத்தும் வெட்டு துண்டுகளை அணிக் கோவை மாறிலிகளின் மடங்குகளாகக் காண வேண்டும். 2. இவ்வாறு பெறப் படும் எண்களின் தலை கீழ் மதிப்புகளைக் காண வேண்டும். அவற்றைச் சம விகிதம் உள்ள மிகச் சிறிய மூன்று முழு எண்களாக h, k, l என மாற்ற வேண்டும். இம்மூன்று எண்களை அடைப்புக் குறிக்குள் வைத்து (h k l) எனத் தளத்தை குறிக்க வேண்டும். இது படம் 2–இல் விளக்கப் பட்டுள்ளது. படத்தில் குறிப்பிட்டுள்ள தளம் \overline a, \overline b, \overline c அச்சுக்களில் முறையே வெட்டுத் துண்டுகளை 3a, 2b, 2c வெட்டுத் துண்டுகளை ஏற்படுத்துகிறது. இந்த எண்களின் தலை கீழ் மதிப்புகள் ⅓, ½, ½ சம விகிதம் உள்ள மூன்று மிகச் சிறிய முழு எண்கள். 2, 3, 3–க்கு இவை மாற்றப் பட்டுத் தளம் (2 3 3)எனக் குறிக்கப் பட வேண்டும். வரம்பிலாத் தொலைவில் ஏற்படுத்தும், வெட்டுத் துண்டிற்குச் சுட்டெண், சுழி ஆகும். கன சதுரப் படிகத்தில் உள்ள சில முதன்மையான தளங்களின் சுட்டெண்கள் படம் 3–இல் விளக்கப் பட்டுள்ளன. (h k l) எனும் சுட்டெண்கள் ஒரு தனித் தளத்தையோ, இணையாள பல தளங்களின் தொகுதியையோ குறிக்கும். ஒரு தளம், ஓர் அச்சை ஆய ஆதியின் எதிர்க் குறிப் பக்கத்தில் வெட்டினால், அதற்குரிய சுட்டெண் எதிர்க் குறியால் குறிக்கப் படும். அதற்குரிய சுட்டெண்ணின் மேல் பகுதியில் எதிர்க் குறி இட்டு இது காட்டப் படும். ஒரு கன சதுரப் படிகத்தின் ஆறு பக்கங்களுக்கான சுட்டெண்கள் (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1), (1 0 0), (0 1 0), (0 1 0) ஆகும். இரு தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு. ஓர் இட அணிக் கோவையில் இரண்டு புள்ளிகள் ஓர் வரிசையையும், மூன்று புள்ளிகள் ஓர் அணிக் கோவை தளத்தையும் வரையறுக்கின்றன. ஒரு வரிசை uvwஇல் இரண்டு அடுத்தடுத்த புள்ளிகள் Puvw என்னும் தொலைவால், பிரிக்கப் பட்டுள்ளன. இந்தத் தொலைவு, அந்த வரிசைக்கும், அதற்கு இணையான வரிசைக்கும் மாறாதது. uvwவினால் குறிக்கப் படும் இரண்டு அடுத்தடுத்த இணை வரிசைகள் Puvw தொலைவில் உள்ளன. படம் 4இல் OA = Puvw மற்றும் OB = ruvw இதில் புள்ளிகள் சம தொலைவுகளில் அமைந்துள்ளவாறு அமைக்கப் படும் இருபரிமாண அணிக் கோவைத் தளங்களின் தொகுதி h k l என்னும் தளத்தால் வரையறுக்கப் படுகின்றது. இந்த இரு பரிமாண அணிக் கோவையை \overline {OA}, \overline {OB} என்னும் இரு வெக்டர்களிலிருந்து பெறலாம். இதற்கு OAB என்னும் இணைகரமே மிகச் சிறிய அலகு. இதை இணையாக நகர்த்துவதன் மூலம், அனைத்து அணிக் கோணத் தளங்களையும் பெறலாம். இதுவே 0A'B', OAB' என்னும் இணைகரங்களுக்கும் இவை போன்ற வரம்பிலா இணைகரங்களுக்கும் பொருந்தும். இவை அனைத்தும் சமப் புறப் பரப்பு (Shkl = Puvwruvw) உடையவை. எனவே, ஒரே வரிசையில் புள்ளிகளின் செறிவு (I/Puvw)இரண்டு அடுத்தடுத்த வரிசைகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவிற்கு நேர் விகிதத்தில் உள்ளது. இவ்வாறே இட அணிக் கோவையில் வரம்பிலா அளவு அலகு அறைகளைக் கருத முடியும். இந்த அறைகள் அனைத்தும் V= Shkldhkl என்னும் சம கன அளவு உடையவை. இதில் dhkl என்பது இரண்டு அடுத்தடுத்த தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு. dhkl இன் அளவு 1/Shkl–க்கு நேர் விகிதத்தில் அமைகிறது. இது hkl தளத்தில் புள்ளிகளின் செறிவு அல்லது புள்ளிகள் திணிக்கப் பட்டுள்ள நெருக்கத்தைக் குறிக்கிறது. படிகத்தின் தன்மைகளை அணு நிலையில் கருதும் போது, இவ்வாறு புள்ளிகள் நெருக்கமாகத் திணிக்கப் பட்டிருப்பது மிக இன்றியமையாதது. இத்தகைய படிகங்களின் முகப் பரப்புகளும், விளிம்புகளும் நெருக்கமான தளங்கள் மற்றும் வரிசைகள் எனப் படும். கணிதவியல் வாயிலாகப் பார்க்கும் போது, மிகவும் வசதியாக அறைகளைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். இயன்ற போதெல்லாம் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான ஓரங்களைக் கொண்டுள்ள உருவங்களைக் கருத வேண்டும். படம் 6 இல் காட்டியுள்ளது போல் α,β,γ என்னும் படிக அச்சுகளால் வரையறுக்கப்படும் கோணங்களைக் கொண்டால், அலகு அறையின் கன அளவு V=abc \sqrt{1 - cos^2\alpha - cos^2\beta - cos^2\gamma + 2 cos \alpha cos \beta cos \gamma} ஆகும். dhkl = 0 எனில், α = β = γ = 90° எனில், cosα = cosβ = cosγ = 0; ஆகையால், \frac{1}{d^2} = \frac {h^2}{a^2} + \frac {k^2}{b^2} + \frac {l^2}{c^2} கன சதுர அணிக் கோவைக்கு a= b=c ஆகையால், \frac{1}{d^2} = \frac {h^2 + k^2 + l^2}{a^2} அறு கோண அணிக் கோவைக்கு a= b ≠ c; α = β = 90°, γ = 120°ஆகையால், \frac{1}{d^2} = \big (\frac{4}{3a^2}\big) \times \big( h^2 + k^2 + l^2 \big) + \frac {l^2}{c^2} இவ்வாறு வெவ்வேறு அணிக் கோவைகளுக்கு hkl என்னும் மில்லர் சுட்டெண் களால் குறிக்கப் படும் இரு தளங்களுக்கு இடைப் பட்ட தொலைவுகளை அறியலாம். அடிப்படை அணிக் கோவை வகை. படிக அணிக் கோவைகளைச் சமச் சீர் செய்கைகள் மூலமாக, அவற்றையொத்த வடிவமைப்புள்ள அணிக் கோவைகளாக மாற்றி அமைக்க முடியும். ஓர் அணிக் கோவைப் புள்ளி வழியே செல்லும் அச்சைப் பற்றிய சுழற்சி இயக்கம் இத்தகைய சமச் சீர் செய்கைகளில் முதன்மையானது. இத்தகைய அச்சைப் பற்றி 2\pi , \frac{2\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{4}, \frac{2\pi}{6} ரேடியன் சுழற்சியை ஏற்படுத்துவதன் மூலம், அணிக் கோவைகளைச் சுழற்சிக்கு முன்பு இருந்த அதே வடிவத்திலேயே பெறலாம். இச்சுழற்சிகளுக்கு முறையே ஒன்று-, இரண்டு-, மூன்று -, நான்கு - , ஆறு - மடிப்புச் சுழற்சி அச்சுக்கள் என்று பெயர். ஓர் அணிக் கோவைப் புள்ளி வழியே செல்லும் தளத்தைப் பற்றிய ஆடி எதிரொளிப்பு என்பது மற்றொரு சமச் சீர் செய்கை ஆகும். π ரேடியன் சுழற்சியைத்தொடர்ந்து, சுழற்சி அச்சிற்குச் செங்குத்துத் தளத்தில் எதிரொளிப்பு ஏற்படுத்தும் தலை கீழாக்கும் செய்கை, மற்றொரு சமச் சீர் செய்கை ஆகும். இத்தகைய சமச் சீர் செய்கைகளின் தொகுப்பு, ஓர் அணிக் கோவைப் புள்ளித் தொகுதி எனப் படும். பிரேவிஸ் அணிக் கோவைகள் இரு பரிமாண அணிக் கோவை வகை. a,b ஆகிய அணிக் கோவை வெக்டர்களுக்கும், அவற்றிற்கிடையேயுள்ள கோணத்திற்கும், எத்தகைய மதிப்பையும் கொடுக்கலாம். ஆதலால், இயலக் கூடியஅணிக் கோவைகளுக்கு வரம்பு இல்லை. பொதுவாக, எடுத்துக் கொள்ளப் படும் அணிக் கோவை சாய்வு அணிக் கோவை எனப் படும். இதற்கு π மற்றும் 2π சுழற்சி இயக்கம் மட்டுமே சமச் சீர் செய்கை ஆகும். a மற்றும் b வெக்டர்களுக்குச் சில நிபந்தனைகளை விதித்தால், சாய்வு அணிக் கோவைகளும் \frac{2\pi}{3} \frac{2\pi}{4} \frac{2\pi}{6} சுழற்சிகளால் அல்லது ஆடி எதிரொலிப்பால் மாறாத வடிவமைப்பைப் பெறும். இவ்வாறு நான்கு வெவ்வேறு நிபந்தனைகள் உள்ளன. ஒவ்வொன்றும் ஒரு தனி அணிக் கோவை வகையைக் கொடுக்கும். எனவே, இரு பரிமாணத்தில் சாய்வு அணிக் கோவை ஒன்றும், தனி அணிக் கோவை வகைகள் நான்கும் ஆக ஐந்து வெவ்வேறு வகையான அணிக் கோவைகள் உள்ளன. இவற்றைப் பொதுவாகப் பிரேவிஸ் அணிக் கோவை எனலாம். எனவே, இரு பரிமாணத்தில் ஐந்து பிரேவிஸ் அணிக் கோவைகள் உள்ளன. இவை படம்–5ல் காட்டப் பட்டுள்ளன. முப்பரிமாண அணிக் கோவை வகை. முப்பரிமாணத்தில் புள்ளிச் சமச் சீர் தொகுதிப் படி ஒரு பொது வகை மற்றும் 13 தனி வகை ஆக 14 வெவ்வேறு வகையான அணிக் கோவை வகைகள் உள்ளன. இவை படம் 6இல் காட்டப் பட்டுள்ளன. பொது வகை, முச்சரிவு அணிக் கோவை ஆகும். வழக்கமாக மேற்கொள்ளும் ஏழு வகை அலகு அறைகளுக்கு ஏற்ப 14 அணிக் கோவை வகைகளும் ஏழு அமைப்புகளாகப் பிரிக்கப் பட்டுள்ளன. அவை முச்சரிவு, ஒரு சரிவு, கன நீள் சதுரம், நாற்கோணம், கன சதுரம் முக்கோணம், அறுகோணம் என்பன. எந்த ஓர் அறையும், மொத்தத்தில் ஓர்அணிக் கோவைப் புள்ளியைப் பெற்றால், அது அடிப்படை அறை எனப் படும். அறைகளின் மூலைகளில் அணிக் கோவைப் புள்ளிகளைப் பெறுவதுடன், வேறு இடத்திலும் புள்ளிகளைப் பெற்றிருப்பவை மடங்கு அறைகள் எனப் படும். படம் 6இல் காட்டப்பட்டுள்ள அனைத்து அறைகளும் அடிப்படை அறைகள் இல்லை. கன சதுர அமைப்பில், மூன்று அணிக் கோவைகள் உள்ளன. அவை எளிய கன சதுரம், உடல்–மைய கன சதுரம் முக–மைய கன சதுரம் என்பன. இம் மூன்று வகைக் கன சதுர அமைப்புகள் படம் 7–ல் காட்டப்பட்டுள்ளன. கடைசி இரண்டு கன சதுர அமைப்புகளுக்கும், அவற்றிற்குரிய அடிப்படை சாய் சதுர அமைப்பு என்பதையும், F என்பது முக மைய அமைப்பு என்பதையும் குறிக்கும். ஒரு முழு அறையையும் குறிக்க, ஒவ்வொரு மூலையும் எட்டு முறை பயன் படுத்தப் படுவதால் P அறை முழுவதற்கும் ஒரே ஒரு புள்ளி மட்டுமே சேரும். அவ்வாறே I அறைக்கு இரு புள்ளிகளும், F அறைக்கு நான்கு புள்ளிகளும் சேரும். வழக்கமாக மேற்கொள்ளப் படும் அலகு அறை அச்சுகள் a,b,c மற்றும் கோணங்கள் α, β, γ ஆகியவற்றின் மதிப்புகளுக்கு ஏற்றவாறு முப்பரிமாணத்தில் உள்ள ஏழு வகை அணிக் கோவைகள் பின் வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கப் பட்டுள்ளன. ஒரு படிகத்தில் அணுக்கள் அல்லது அயனிகள் மீண்டும், மீண்டும் ஒரே வகையாக அடுக்கப் படுவதால், படிகத்திற்குப் புறத்தே சமச் சீரான உருவம் ஏற்படுகிறது. அணுக்களை எவ்வவ் வகைகளில் மீண்டும், மீண்டும் ஒரே வகை அமைப்பில் அமைக்கலாம் என்பதைப் பிராவஸ் அணிக் கோவைகள் கொடுக்கின்றன. இரு பரிமாண கட்டமைப்புகளில், இவ்வாறு ஏற்படுத்துவதைப் படங்கள் விளக்குகின்றன. அவற்றில் 9 என்னும் எண், பொருளாகப் பயன் படுத்தப் பட்டுள்ளது. இது முற்றிலும் சமச் சீரற்றது. அது பல ஆடித் தளங்களின் வரிசைகளாலும் நான்கு–மடிப்பு அச்சுகளாலும் பெருக்கப் படுகிறது. இதனால், ஒன்றினுள் ஒன்று புகும் ஓரியல்பான பல தளங்கள் ஏற்படுகின்றன. இவை அனைத்தும் ஒரே பிராவஸ் அணிக் கோவை உடையவை. ஆனால், இவை அனைத்தும் ஒரே சமச் சீர் அமைப்புடையன அல்ல. முப்பரிமாண இட அணிக் கோவையில் இதே முறையில், அணிக் கோவைகளைப் பெற, மேலும் சில சமச் சீர் உறுப்புகளைக் கருத வேண்டும். திருகு அச்சுகள். சாதாரண சமச் சீர் அச்சு ஒன்றின் சுழற்சியையும், அந்த அச்சிற்கு இணையாக, அத்திசையில் அலகு தொலைவின் ஒரு பின்னத்திற்குச் சமமான அளவு இடப் பெயர்ச்சியையும் சேர்த்த கூட்டு இயக்கம் திருகு அச்சு ஆகும். இத்தகைய இயக்கம், படம் 10இல் விளக்கப் பட்டுள்ளது. அலகு 3₁ மற்றும் 3₂ என்னும் குறியீடுகளால் குறிக்கப் படுகின்றன. இவற்றிற்கான இடப் பெயர்ச்சிகள் முறையே ⅓ மற்றும் ⅔ ஆகும். இத்தகைய சுழற்சியைக் கண்டு அறிய, வில் சுழற்சிகள் வடிவத்தில் அளவு காட்டப் பட்டுள்ளன. அவை முறையே வலஞ்சுழி மற்றும் இடஞ் சுழியாகத் திரும்பும் வில்களாக உள்ளன. அவ்வாறே கிடைக்கும் இயக்கங்களாவன: 2₁, 3₁, 3₂, 4₁, 4₂, 4₃, 6₁,6₂, 6₃, 6₄, மற்றும் 6₅. நழுவு அடித் தளங்கள்.ஆடியில் ஏற்படுத்தப் படும் பிம்பத்துடன், ஆடித் தளத்திற்கு இணையாக நழுவு திசையில், அலகு தொலைவின் பாதித் தொலைவிற்கு இடப் பெயர்ச்சியையும் சேர்த்த இயக்கம் நழுவு தளம் ஆகும். இது படம் 11இல் விளக்கப் பட்டுள்ளது. a,b,c என்பவை அணிக் கோவை வெக்டர்கள் எனில் அச்சு நழுவு தளங்கள் முறையே \frac {a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2} அளவுள்ள இடப் பெயர்ச்சி உடையவை; மூலை விட்ட நழுவு தளங்கள் \frac {a+b}{2}, \frac{b+c}{2}, \frac{c+a}{2} என்னும் இடப் பெயர்ச்சிகள் உடையவை. அவை ‘n’ எனக் குறிக்கப் படும். அனைத்து வகையிலும், இயலும் வரை அமைக்கப் படக் கூடிய அணுக்களின் அமைப்புகளைப் பெற வேண்டுமென்றால், இந்தச் சமச் சீர் உறுப்புகள் அனைத்தையும் கருத வேண்டும். இவற்றைக் கருத்தில் கொண்டு, மொத்தம் 230 வகையான அமைப்புகள் அல்லது இடத் தொகுப்புகள் அறியப் பட்டுள்ளன. இவற்றுள் 32 வகைகள், நடைமுறையில் காணுமாறு உள்ள பெரிய வடிவங்களில் காணப் பட்டுள்ளன. இடத் தொகுப்புகள். ஓர் இட அணிக் கோவையில் அமைந்துள்ள வரம்பின்றி, பெருகிச் செல்லும் சமச் சீர் உறுப்புகளின் வரிசைகள் இடத் தொகுப்புகள் எனப் படும். ஓர் இடத் தொகுப்பு என்பது முப்பரிமாணத்தில் படிகத்தின் உருவ அமைப்பைக் காட்டுவதாகும். இதன் சமச் சீர் இயக்கங்களுக்கு உட்படும் ஒரு பொருள் ஒன்றினுள் ஒன்று புகுந்து செல்லும் ஓரியல்பான அணிக் கோவைகளை ஏற்படுத்தும் வகையில், மீண்டும், மீண்டும் ஒரே வரிசைப்படி அமைந்துள்ள அணுக்கள் அல்லது அயனிகள் அல்லது அவற்றின் தொகுதிகளைக் கொண்டிருக்கும். இடத் தொகுப்பு 230 வகையானவை என்றால், வெளி இடத்தில் அணுக்களின் வரிசை அமைப்பு மீண்டும், மீண்டும் வருமாறு 230 வகைகளில் அமைக்கப் பட்டுள்ளன என்பதைக் குறிக்கும். இரண்டும் பரிமாணங்களை மட்டும் கருதும் போது, 17 இடத் தொகுப்புகளே உள்ளன. பொதுவான படிகக் கட்டமைப்புகள். உலோகங்களில் காணப் படும் மூன்று வகைப் படிகள் கட்டமைப்புகளும், படிகவியல்புள்ள சேர்மங்களில் காணப் படும் ஐந்து வகைக் கட்டமைப்புகளும் கீழே விவரிக்கப் பட்டுள்ளன. உலோகங்கள். பொதுவாக, உலோகக் கட்டமைப்புகள் மிகவும் நெருக்கமாகத் திணிக்கப் பட்ட மிக அதிகமான அளவில், சமச் சீரான எளிய அமைப்பை உடையவை. மாங்கனீஸ், கால்சியம், பாதரசம், டங்ஸ்டனின் ஒரு வகை ஆகியவை மட்டும் இதற்கு விதி விலக்கு. தனிமங்களின் வரிசை அட்டவணையில் துணைத் தொகுப்புகளில் உள்ள உலோகத் தனிமங்கள், துணைத் தொகுப்புகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது, அவற்றின் உலோகத் தன்மையையும், எளிய கட்டமைப்பையும் படிப் படியாக இழக்கின்றன. உலோகப் படிகங்களில் அணுக்களைப் பிணைக்கும் விசைகள் திசைச் சார்பற்றவை. அதாவது, ஒவ்வோர் அணுவும், அதனால் இயன்ற அளவு ஏனைய அணுக்களால் சூழப் பட்டிருக்கும் நிலையை அடைய முயல்கிறது. இதன் விளைவாக, ஒரே ஆரமுள்ள கோளங்களை நெருக்கி வைப்பது போல, அணுக்கள் மிகவும் நெருக்கமாகத் திணிக்கப் பட்டுள்ள நிலையில் கட்டமைப்பு அமைகிறது. இவ்வாறு மூன்று வெவ்வேறு அமைப்பிலான கட்டமைப்புகள் தோன்றுகின்றன. அலை முக மையமுள்ள நெருக்கமாகத் திணிக்கப் பட்ட கன சதுரம், நெருக்கமாக திணிக்கப் பட்ட அறுகோணம், உடல் மையக் கன சதுரம் என்பன. நெருக்கமாகத் திணிக்கப் படுதல். கோளங்களுக்கு இடைப் பட்ட இடத்தின் கன அளவு சிறுமமாக இருக்கும் வகையில் சம அளவு ஆரமுள்ள கோளங்களை வரிசைப் படுத்தி அமைக்கும் ஒரு வழி நெருக்கமாகத் திணிக்கப் படுதல் என்பதாகும். இதை வரம்பிலா வழிகளில் செய்யலாம். A என்னும் ஒரு தளத்தில் கோளங்கள் மிக நெருக்கமாகத் திணிக்கப் படும் விதம் படம். 12இல் விளக்கப் பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு கோளமும் ஏனைய ஆறு கோளங்களைத் தொட்டுக் கொண்டிருக்கிறது. அவற்றின் மையங்கள் சம பக்க முக்கோணங்களின் சீரான அமைப்பை ஏற்படுத்துகின்றன.கோளங்களுக்கு இடையே உள்ள இடைவெளிகள் எண்ணிட்டுக் காட்டப் பட்டுள்ளன. A என்னும் தளத்தில் உள்ள இடை வெளிகள் 1,3,5 ஆகியவற்றில் பொருந்துமாறு மற்றொரு B என்னும் தளத்தில் கோளங்களை அமைக்கலாம். இவ்வாறு உருவாக்கப் படும் B என்னும் புதிய அடுக்கு Aஐப் போன்றே கோளங்களின் வரிசை அமைப்பைக் கொண்டிருக்கும். ஆனால், B கோளங்கள் Aஇயின் கோளங்களிலிருந்து, சிறிது நகர்ந்து அமைந்திருக்கும். மூன்றாம் அடுக்கு கோளங்களை இரண்டு வழிகளில் அமைக்கலாம். அதன் கோளங்களை A அடுக்கிற்கு மேலே A–இயின் உள்ளது போலவே அமைக்கலாம். அப்போது ABA என்னும் அமைப்பில் கோளங்கள் அடுக்கப் படும். அல்லது 2 கோளங்கள் 2,4,6 என்ற இடைவெளிகளில் பொருந்துமாறு அமைக்கலாம். இவ்வாறு அமைத்தால், C என்னும் ஒரு புதிய வரிசை கிடைக்கும். A மற்றும் B வரிசைகளில் உள்ள கோளங்களுக்குச் சார்பாக வரிசையில் உள்ள கோளங்கள் சிறிது நகர்ந்து அமைந்திருக்கும். மேற்கொண்டு ஏற்படுத்தப் படும் ஒவ்வோர் அடுக்கிற்கும், இரு வகையான இயலக் கூடிய கூறுகள் இருக்கும். இரண்டு அடுத்தடுத்த அடுக்குகளில் ஒரே வகையான கோளங்களின் அமைப்பு இராதவாறு அமையும். ABCBABCABA…… போன்ற வரிசையில் தளங்கள், அடுக்குகள் இருக்கும். இந்த அடுக்குகள் அனைத்திற்கும் ஒரு பொதுத் தன்மை இருக்கும். அதாவது, இவை அனைத்திலும், ஒவ்வொரு கோளமும், ஏனைய 12 கோளங்களைத் தொட்டுக் கொண்டிருக்கும். மேலும், இவை சம அளவில் நெருக்கமாகத் திணிக்கப் பட்டிருக்கும். நெருக்கமாகத் திணிக்கப் பட்டிருக்கும். அமைப்பு படிகங்களில் மிகவும் அதிகமாகவே அபூர்வமாகத்தான் இருக்கிறது. படிகங்களில் அதுவும் குறிப்பாக, கார்போரான் படிகத்தில், மிகவும் சிக்கலான தள வரிசைகள் மீண்டும், மீண்டும் வருதல் அறியப் பட்டுள்ளது. ஒரு படிகத்தின் கட்டமைப்பில் 89 அடுக்குகள் சேர்ந்து, ஒரு வகை அடுக்கை மட்டும் குறிக்கின்றன. பின்னர், அதே வரிசையில் அடுக்குகள் மீண்டும், மீண்டும் அமைகின்றன. பெரும்பாலான படிகங்களில், மிகக் குறைந்த அளவு தளங்கள் உள்ள அமைப்பு மீண்டும், மீண்டும் அமைகின்றது. கோளங்களின் இடையே உள்ள இடைவெளிகள் மொத்தக் கன அளவில் 27% உடையன. இவை நான்கு கோளங்களுக்கு இடையே ஏற்படும் நான்முகப் பட்டைக்கான இடைவெண்கள். ஆறு கோணங்களுக்கு இடையே ஏற்படும் N கோணங்கள் உள்ள ஒரு தொகுப்பில் 3N இடைவெளிகள் உள்ளன. இவற்றில் 2N நான்முகப் பட்டைக்கான அமைப்பும், N எண் கோளப் பட்டைக்கான அமைப்பும் உடையவை. முக–மையக் கன சதுரக் கட்டமைப்பு. ABC என்னும் அமைப்பைச் சீராக மீண்டும், மீண்டும் ஏற்படுத்துவதால், தோன்றும் நெருக்கமாகத் திணிக்கப் படும் அமைப்பு, இந்தக் கட்டமைப்பில் பயன் படுத்தப் படுகிறது. படம் 14–ல் காட்டியுள்ளவாறு, கோளங்களின் மையங்கள் ஒரு கன சதுர அணிக் கோவை F–ஐ ஏற்படுத்தும். ABC வகையில், நன்கு திணிக்கப் பட்ட தளங்கள் மூன்று–மடிப்பு அச்சிற்குச் செங்குத்தாக உள்ளன. ஆதலால் இதை {1 1 1} எனக் குறிக்கலாம். இந்த அமைப்பில், நால் வகைத் தளங்கள் உள்ளன. இவை, இக்கட்டமைப்பில் மிகவும் நெருக்கமாகத் திணிக்கப் பட்ட தளங்கள் ஆகையால், 111 அணிக் கோவையின் ஏனைய எந்த மதிப்பையும் விடப் பெரியவையாகும். கோளங்கள் இருக்கும் இடங்களின் கன அளவின் சதவீதத்தை எளிதில் கணக்கிடலாம். அலகு அறையின் கன அளவு a³ அலகு அறையில் ஆரமுள்ள நான்கு கோளங்கள் உள்ளன. அவற்றின் மொத்த கன அளவு \frac {16}{3} \pi R^3 படம் 14ல் காட்டியுள்ளவாறு முகப் பரப்பின் மூலை விட்டத் திசையில் கோளங்கள் தொட்டுக் கொண்டிருக்கின்றன. ஆதலால், 4a \sqrt {2} அல்லது R = \big(a \sqrt {2} \big)^3 எனவே, கோளங்களின் கன அளவு \pi \sqrt{2}a^3 / 6 இது கனசதுரத்தின் கன அளவைப் போல் 73% ஆகும். A, B, C என்னும் தளங்களின் ஏனைய மாறுபாடுகளில் அமையும் படிகக் கட்டமைப்புகளின் நன்கு திணிக்கப்பட்ட அமைப்புகளுக்கும், கோளங்களின் கன அளவு இந்தச் சதவீதமே ஆகும். நன்கு திணிக்கப் பட்ட அறுகோணக் கட்டமைப்பு. இது இரண்டு அடுக்குகள் என்றவாறு சீராக மீண்டும், மீண்டும் அமையும் நன்கு திணிக்கப் பட்ட அமைப்பாகும். படம் 14இல் காட்டியுள்ளவாறு, இது அறுகோணச் சமச் சீரமைப்பு உடையது. இதற்கான அலகு அறை படம் 15இல் காட்டப் பட்டுள்ளது. ஓர் இணைகரத்தை அடிப் பீடமாக உடைய செங்குத்து இணைகரத் திண்மம் ஒன்றின் மூலைகளில், ஆறு கோணங்கள் உள்ளன. பிறிதோர் அணுவின் ஆயத் தொலைவுகள் (⅓, ⅓, ½) ஆகும். அலகு அறையின் ஓரத்தின் நீளம் அறையின் உயரம் AE = 2AG = C எனில், இந்த மதிப்பு இன்றியமையாதது. ஓர் அறுகோணக் கட்டமைப்பு ஒரு நல்லியல்பான நன்கு திணிக்கப்பட்ட அமைப்பை எந்த அளவிற்கு ஒத்திருக்கிறது என்பதை, காட்டும். உடல் மையக் கன சதுரக் கட்டமைப்பு. இது படம் 14இல் காட்டப் பட்டுள்ளவாறு, ஒவ்வொரு கோளமும் ஏனைய எட்டுக் கோளங்களைத் தொட்டுக் கொண்டிருக்கும் அமைப்பாகும். R ஆரமுள்ள கோளங்கள், கன சதுரத்தின் மூலை விட்டத் திசையில் ஒன்றையொன்று தொட்டுக் கொண்டிருக்கின்றன.எனவே,மூலையிலுள்ள இரு கன சதுரங்களின் மையங்களிலிருந்து அளந்தால், கன சதுரத்தின் மூலை விட்டம் 4R = a \sqrt{3} எனவே, R = a \sqrt{3} / 4 ஒர் அலகு அறையின் மையத்தில் ஒன்றும், ஒவ்வொரு மூலையிலும் ஒரு கோளத்தின் 1/8 பகுதியும், ஆக மொத்தத்தில் இரண்டு கோளங்கள் உள்ளன. இரு கோளங்களின் கன அளவு \frac{8}{3}\pi R^3 = \frac {\pi \sqrt{3a^2{8} ஆகும். இது கன சதுரத்தின் கன அளவில் 67% <!---- வாசல் கேட் போல உள்ளது ----> ஆகும். ஆதலால், ஏனைய இரு வகைக் கட்டமைப்புக்களைவிட இந்தக் கட்டமைப்பில் கோளங்களின் நெருக்கம் குறைவாக உள்ளது. மிகவும் நெருக்கமாகத் திணிக்கப் பட்டுள்ள தளங்கள் (1 1 0) உள்ளன. ஆனால், அவை ஏனைய கட்டமைப்பில் விளக்கப்பட்ட (A, B, C) தளங்கள் போல மிகுதியும் நெருக்கமாகத் திணிக்கப் படவில்லை. படிகச் சேர்மங்கள். அயனிப் படிகங்களின் ஓர் அணியின் அணைவு என்னும் உருவ வடிவமைப்பும், படிகத்தில் இடம் பெறும் அயனியின் ஒப்பு உருவைச் (Relative size) சார்ந்துள்ளது. AX என்னும் அயனிச் சேர்மத்தில் A* என்னும் நேர்மின் அயனியின் ஆரத்திற்கும். X என்னும் எதிர் மின் அயனியின் ஆரத்திற்கும் இடையிலுள்ள விகிதம் ஆர விகிதம் (Radius Ratio) எனப்படும். AX வகை அயனிப் படிகங்களில் பல்வேறு அணைவு எண்களுக்கான வரம்பு ஆர விகிதம் (Limiting Radius Ratio) வடிவ அமைப்பியலை (Geometry) அடிப்படையாகக் கொண்டு கணக்கிடப் பட்டுள்ளன. அணைவு எண் 3 கொண்ட AX என்னும் அயனிச் சேர்மத்தின் நிலையான அமைப்பைப் படம். 16இல் காட்டுகிறது. 3X அயனிகள் ஒன்றையொன்று தொட்டுக் கொண்டிருப்பதையும், இந்த அயனிகளுக்கு இடையிலுள்ள குறியில் (படத்தில் 0 என்னும் புள்ளி) A' அயனி இருப்பதையும், A' அயனி X அயனிகளைத் தொட்டுக் கொண்டிருப்பதையும் படத்தில் காணலாம். ஒரு குறிப்பிட்ட படிக அமைப்பு எந்தச் சேர்மத்தில் முதலில் கண்டறியப் பட்டதோ, அந்தச் சேர்மத்தின் பெயரால் அதே அமைப்புடைய பிற படிகச் சேர்மங்கள் குறிப்பிடப் படுகின்றன. பின் வரும் படிகச் சேர்ம அமைப்புகள் குறிப்பிடத் தக்கவை. சோடியம் குளோரைடின் கட்டமைப்பு. சோடியம் குளோரைடின் கட்டமைப்பு படம் 17இல் காட்டப் பட்டுள்ளது. இதில் ஒவ்வோர் எதிர்மின் அயனியும், ஆறு நேர் மின் அயனிகளால் சூழப் பட்டிருக்கும். இதன் ஒருங்கமைவு 6/6 ஆகும். ஓர் அணுவை மிக நெருக்கமாக, சூழ்ந்துள்ள அணுக்களின் எண்ணிக்கை, அதன் ஒருங்கமைவு எண் எனப்படும். ஒவ்வொரு நேர் மின் அயனியும், எதிர் மின் அயனியின் மையமும், ஒரு முக மையக் கன சதுர அணிக் கோவையை ஏற்படுத்துகின்றன. அவை ஒவ்வொன்றும் ஏனையவற்றிற்கும் சார்பாக, a/2 தொலைவு நகர்ந்து அமையும். இதில் a என்பது அலகு அறையின் ஒரு விளிம்பின் நீளம், இத்தகைய கட்டமைப்புடைய சேர்மங்களின் அலகு அறைகளின் அளவுகளை முறையாக ஆராய்ந்ததான் விளைவாகப் பின் வரும் உண்மைகள் தெளிவாகின்றன. 1. ஒவ்வோர்அயனியும், ஒரு குறிப்பிட்ட ஆரம் உடையதாகும். ஒரு நேர்மின் அயனி, அதற்கேற்ற அணுவின் அளவை விடச் சிறியது எதிர் மின் அயனி அதனை விடப் பெரியது. 2. படிகங்களில், பிணைப்பு விசைகள் சார்பற்றவை. ஆகையால், ஒவ்வோர் அயனியும், அதற்கு எதிரான மின்னேற்றம் பெற்றுள்ள அயனிகளால் எவ்வளவு அதிகமான எண்ணிக்கையில் சூழப் பட்டிருக்க முடியுமோ, அவ்வளவு அயனிகளால் சூழப் பட்டிருக்குமாறு இருக்கும் நிலையை அடைய முயலும். இவற்றின் அடிப்படையில் கட்டமைப்பு இரண்டு காரணிகளால் வரையறுக்கப் படுகிறது. அவை தோராயமாகக் கடினக் கோளங்கள் போல் செயற்படும் இரண்டு வகையான அயனிகளின் உருவ அமைப்பைப் பொறுத்து அமையும் வடிவியல் காரணி கூடிய வரை மிகக் குறைந்த கன அளவில், மின்னேற்ற நடு நிலைத் தன்மையுடன் இருப்பதற்கான ஆற்றல் வாயிலான காரணி என்பன. மிகவும் நல்லியல்பான வகையில், அனைத்து அயனிகளும் ஒன்றையொன்று தொட்டுக் கொண்டிருக்கும். ஆகையால், அயனியால் அயனிகளின் ஆரங்களை, \Gamma_{A} மற்றும் \Gamma_{X} எனக் கொண்டால், 4\sqrt{x}=a \sqrt{2}, 2 \big( \Gamma_A + \Gamma_X \big) = a இவற்றிலிருந்து \Gamma_A / \Gamma_X = \sqrt {2} -1, \Gamma_A / \Gamma_X மதிப்பு ௦.4 ஐ விடக் குறைவாக இருந்தால், நேர் மின் அயனியும், எதிர் மின் அயனியும் ஒற்றையொன்று தொட இயலாது. இதனால், கட்டமைப்பு நிலையற்றதாகிறது. \Gamma_A / \Gamma_X இன் மதிப்பு 0.41–ஐ விட மிகுந்தால், நேர் மின் அயனிகள் ஒன்றையொன்று தொட இயலாது. ஆனால், வெவ்வேறு இயல்பான மின்னேற்றம் பெற்ற அயனிகள் ஒன்றையொன்று தொடும். \Gamma_A / \Gamma_X = 0.73 வரை இருந்தால், கட்டமைப்பு நிலையாக இருக்கும். சீசியம் குளோரைடு இத்தகைய கட்டமைப்பை உடையது. சீசியம் குளோரைடு கட்டமைப்பு. இதன் ஒருங்கமைவு இதன் கட்டமைப்புப் படம்–16(ஆ)இல் காட்டப் பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு நேர் மற்றும் எதிர் மின் அயனியின் மையமும், ஓர்அடிப்படைக் கன சதுர அணிக் கோவையை ஏற்படுத்தும். அவற்றின் மையங்கள் ஒவ்வொன்றும் தொலைவு a \sqrt {\frac {3}{4 நகர்ந்து அமையும். மேலே விளக்கியவாறு இக்கட்டமைப்பின் நிலைப் பாட்டிற்கான நிபந்தனையைக் கணக்கிடலாம். இதில் எதிர் மின்னேற்றம் பெற்றுள்ள அயனிகள் கன சதுரத்தின் மூலை விட்டம் வழியிலான திசையில் தொட்டுக் கொண்டிருக்கின்றன. வைரத்தின் கட்டமைப்பு. வைரத்தின் இட அணிக் கோவை ஒரு முக–மையக் கன சதுரமாகும். ஒவ்வோர் அணுவையும், அதற்கு மிக அருகில் நான்கு அணுக்கள் சூழ்ந்துள்ளன. அதற்கு அடுத்தாற் போல் வரும் நெருக்கமான நிலையில் 12 அணுக்கள் உள்ளன. இந்த அமைப்பில், ஒவ்வோர் அணுவும் அதன் மிக வைரத்தின் கட்டமைப்பு படம் 18(அ)இல் காட்டப் பட்டுள்ளது. அணுக்கள் அலகு அறையின் மூலைகளிலும், முகங்களின் மையங்களிலும், (¼, ¼, ¼,), (¾, ¾, ¼), (¾, ¼, ¾), (¼, ¾, ¾) ஆகியவற்றை ஆயத் தொலைவுகளாக உடைய ன்கு புள்ளிகளிலும் உள்ளன. ஒவ்வொன்றும் ஒன்றுக்கொன்று a \sqrt{\frac {3}{4 தொலைவு நகர்ந்துள்ள இரண்டு தொகுப்புகளாக அணுக்களைப் பிரிக்கலாம். அணுக்களின் நிலைகளுக்கான வீழ்த்திகளைக் கன துரத்தின் ஒரு முகத்தில் பெற்றால், அணுக்களின் நிலை படம் 18(ஆ)இல் காட்டியுள்ளது போல் இருக்கும். சிங்க் சல்ஃபைடு கட்டமைப்பு. ஒருங்கமைவு \frac {4}{4} உடைய சிங்க் சல்ஃபைடின் கட்டமைப்பு,அடிப்படையில் வைரத்தின் கட்டமைப்பைப் போன்றே, படம் 19இல் காட்டப் ட்டுள்ளது. இதில் சிங்க் அணுக்கள் சிறிய கோளங்களாலும், சல்ஃபர் அணுக்கள் பெரிய கோளங்களாலும் காட்டப் ட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு சிங்க் அணுவும், சல்ஃபர் அணுக்களால் ஏற்படுத்தப் படும் நான்முகப் பட்டையின் மையத்தில் இருக்கிறது. அவ்வாறே, ஒவ்வொரு சல்ஃபர் அணுவும், சிங்க் அணுக்களால் ஏற்படுத்தப் படும் நான்முகப் பட்டையின் மையத்தில் இருக்கிறது. சிங்க் அணுக்களும், சல்ஃபர் அணுக்களும், முக மையக் கன சதுர அணிக் கோவையை ஏற்படுத்துகின்றன.கால்சியம் ஃபுளுரைடு கட்டமைப்பு. கால்சியம் ஃபுளுரைடின் கட்டமைப்பு படம் 20இல் காட்டப் பட்டுள்ளது. அலகு அறையைச் சமமான எட்டுச் சிறு அறைகளாகப் பிரித்தால், கால்சியம் அயனிகள் அறையின் மூலைகளிலும், அறையின் முகங்களின் மையங்களிலும் அமைந்துள்ளது. ஃபுளூரின் அயனிகள் எட்டுச் சிறு அறைகளின் மையங்களில் அமைந்துள்ளன. கால்சியம் அயனிகளாலான முக–மையக் கன சதுர அணிக் கோவை ஒன்று, ஃபுளூரி அயனிகளாலான முக–மையக் கன சதுர அணிக் கோவைகள் ஒன்றினுள் ஒன்று புகுந்திருப்பதும், ஒன்றுக்கொன்று (0,0,0), (¼, ¼, ¼,), (¾, ¾, ¾) தொலைவு நகர்ந்து இருப்பதும் கால்சியம் ஃபுளூரைடின் கட்டமைப்பு ஆகும். படிகக் கட்டமைப்புப் பற்றிய விவரங்களை அட்டவணைப் படுத்திப் பல ஆய்வாளர்கள் வெளியிட்டுள்ளனர். ——க. சேது —ப. தர்மலிங்கம்