இரண்டாம் உலகப் போர் காலத்தில் உருவான பல சிக்கல்களைத் தீர்க்கக் கணிதம், இயற்பியல், வேதியியல், பொறியியல் போன்ற பல துறை அறிஞர்கள் சேர்ந்து கூட்டாகத் தோற்றுவித்த துறை, செயல் முறை ஆய்வு (Operation research) ஆகும். இத்துறையின் அடிப்படை நோக்கம், எந்த ஒரு சிக்கலிலும் தொடர்புடைய மாறிகள், மாறிகளைக் கட்டுப் படுத்தும் கட்டுப்பாடுகள் செயல்படும் சூழலிலும், அடைய விரும்பும் குறிக்கோள்களை–சார்பு வழியாக எழுதி, அச்சார்புகளின் மீச்சிறு அல்லது மீப்பெரு மதிப்புகளைக் காண்பதாகும். இந்த முறை கணித மாதிரியாக்கல் எனப் பொதுவாகவும் (Mathematical Modelling), மீப்பெரு அல்லது மீச்சிறு மதிப்புகளைக் காணும் முறையெனச் சிறப்பாகவும் கூறப் படும். இம்முறையைக் கணித வழித் திட்டமிடல் (Mathematical Programming) எனவும் குறிப்பிடலாம். எடுத்துக் கொண்ட சிக்கல் தொடர்புடைய மாறிகள் X_1, X_2, \cdots, X_n \le g_i (X_i, \cdots, X_n) \, o \, (i=1,2, \cdots , m) என்னும் வடிவிலும் இருக்க, மீப்பெரு அல்லது மீச்சிறு மதிப்பு காண வேண்டிய குறிக்கோள் சார்பு f(X₁, X₂, … Xn) என இருந்தால், கணித வழித் திட்டமிடல் கணக்கு பின் வருமாறு எழுதப் படும். g_i (X_1, X_2, \cdots, X_n) \le 0 கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்டு, f(X₁, X₂, … Xn) இன் மதிப்புக் காணலாம். மேலே கூறிய கணக்கில் கட்டுப்பாட்டுச் சார்பு குறிக்கோள் சார்பு g_i (X_1, X_2, \cdots, X_n) குறிக்கோள் சார்பு f(X₁, X₂, … Xn) ஆகியவை முதற் படிச் சார்பு அல்லது நேரியச் சார்பாக இருந்தால், இது நேரியத் திட்டமிடல் (Linear Programming) எனப் படும். வணிகவியல் போன்ற நடைமுறையில் எழும் கணக்குகளில், குறிக்கோள் சார்பு செலவையோ, வரவையோ, இழப்பையோ, கிட்டும் வருவாயையோ குறிக்கலாம். இச்சார்பில் வரும் கெழுக்கள், செலவுக் கெழுக்கள் (Cost Coefficients) எனப் படும். 1945-55க்கு இடைப்பட்ட ஆண்டுகளில், அமெரிக்கப் பொருளியலார் நேரியத் திட்டமிடல் கணக்கையும், அதற்குத் தீர்வு காணும் சிம்ப்ளக்ஸ் முறையையும் கண்டறிந்தனர். இதற்குச் சற்று முன்னதாகவே, ஜி.ஜே. ஸ்டிக்ளர் என்பார் பத்திய உணவு வரையறுக்கும் கணக்கில் (diet problem) நேரியத் திட்டமிடல் பண்புகளை அறிந்தார். எனினும், தீர்வு காண்பதற்கு எடுத்த முயற்சிகள் யாவும் தொடர் முயற்சி (trial and error) தன்மையுடையனவாக இருந்தன. 1947இல் ஜி.பி.டான்சிக் நேரியத் திட்டமிடல் கணக்கைத் தீர்ப்பதற்குச் சிம்ப்ளக்ஸ் முறையை உருவாக்கினார். இவரே, பின்னர், 1953இல் டபிள்யு, ஆர்சர்டு ஹேய்ஸ் என்பாருடன் சேர்ந்து, மிகவும் விரைவாகத் திறனுடன் தீர்வளிக்கும் திருத்தப்பட்ட சிம்ப்ளக்ஸ் முறையைக் கண்டார். நேரியத் திட்டமிடல் கணக்கு வணிகம், பொருளியல், போக்கு வரத்து, உற்பத்திப் பொறியியல் போன்ற பல்வேறு துறைகளில் இடம்பெறுகிறது. எடுத்துக் காட்டாகப் பின் வரும் உற்பத்திப் பங்கீட்டுக் கணக்கைக் காணலாம். ஆலை உரிமையாளர் M₁, M₂ என்னும் இரு மாதிரி எந்திரங்களை உற்பத்தி செய்வதாகக் கொள்ளலாம். ஒரு M₁ மாதிரிப் பொறி உற்பத்திக்கு 4 மணி அரைவை (grinding) நேரமும், 2 மணி தேய்ப்பு நேரமும் தேவை எனலாம். M₂ மாதிரிப் பொறிக்கு 2 மணி அரைவை நேரமும், 5 மணி தேய்ப்பு நேரமும் தேவை எனலாம். ஆனால், ஆலையில் அரைவை எந்திரம் 2 இல் ஒவ்வொன்றும் வாரத்திற்கு 40 மணி நேரம் மட்டுமே பயன் படுத்தப் படவேண்டும். 3 தேய்ப்பு எந்திரங்களும் 60 மணி நேரம் பயன்படலாம். M₁ மாதிரி எந்திரம் ஒவ்வொன்றையும் விற்றால் ரூ.300 உம், M₂ மாதிரி எந்திரம் ஒவ்வொன்றையும் விற்றால் ரூ.400 உம் கிடைத்தால், ஆலை உரிமையாளர் இம்மாதிரி ஒவ்வொன்றிலும் எத்தனை உற்பத்தி செய்யலாம் என முடிவெடுக்க வேண்டும்? தீர்வு. M₁ மாதிரியில் x₁ உருப்படிகளும், M₂ மாதிரியில் x₂ உருப்படிகளும் உற்பத்தி செய்வதாகக் கொள்ளலாம். அவரது வாரத்திற்கான வருவாய் Z = 3x₁ + 4x₂ (நூறு ரூபாயில்) ஆனால், தேய்ப்பு அரைவைப் பொறிகளின் பணி நேரத்தின் கட்டுப்பாடு \begin{align} 4x_1 + 2x_2 &\le 80 \\ 2x_1 + 5x_2 &\le 180 \end {align} எனவே இவ்வுற்பத்திக் கணக்கைத் தீர்க்க \begin{align} x_1 > 0 ; x_2 &\ge 0 \\4x_1 + 2x_2 &\le 80 \\ 2x_1 + 5x_2 &\le 180 \end {align} என்னும் கட்டுப்பாடுகளுக்குட் பட்டு Z = 3x₁ + 4x₂ சார்புக்கு மீப்பெரு மதிப்பைக் காண வேண்டும். இக்கணக்கைத்தீர்க்க (x₁, x₂) என்னும் ஆயத் தொலைகளைப் பயன் படுத்த, ஒவ்வொரு தீர்வு இணைக்கும் ஏற்பக் கார்ட்டீசியத் தளத்தில் ஒரு புள்ளியைக் காண வேண்டும். x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 என இருப்பதால், இத்தகைய புள்ளியை முதல் கால் வட்டப் பகுதியில் காண வேண்டும் \begin{align}4x_1 + 2x_2 &\le 80 \\ 2x_1 + 5x_2 &\le 180 \end {align} என்பதால், 2x₁ + 5x₂ = 180; 4x₁ + 2x₂ = 80 ஆகிய நேர்கோடுகளுக்கு இடப் புறமாகக் காண வேண்டும். எனவே, இத்தகைய தீர்வுப் புள்ளிகள் OACB என்னும் குவிகணத்தின் மீது அமைய வேண்டும். மீப்பெரு மதிப்பு தரும் தீர்வு இக்குவி கணத்தின் (Convex set) முனைகளான O, A, B, C இல் ஏதாவது ஒரு புள்ளியில் அல்லது ஒரு விளிம்பில் அமையலாம் (இதை உறுதியாக உயர் கணிதம் வழி நிறுவலாம்). O,A, B, C புள்ளிகள் O = (0, 0), A = (20, 0), B= (0,36) C = (2.5, 35). இத்தீர்வுகளிடத்துக் குறிக்கோள் சார்பு Z = 3x₁+ 4x₂ ஐக் கணக்கிட்டு ஒப்பிட, அதன் மீப்பெரு மதிப்பு 147.5 என்பது x₁ = 2.5, x₂ = 35 என்னும் தீர்வுகளிடத்து அமைவதைக் காணலாம். நேரியத் திட்டமிடும் கணக்கைப் பின் வருமாறு பொதுவாகக் கூறலாம் \begin {align} (i) &(a) \, x_j \ge 0, j = 1,2,\cdots n \\ &(b) \, \sum _{j=1}^n a_{ij}x_{j} = b; i = 1,2,\cdots m \\ \end {align} என்ற கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்டு \sum _{j=1}^n C_{j}x_{j} இன் மீச்சிறு மதிப்பைக் காண வேண்டும். (i) கட்டுப்பாடுகளை நிறைவு செய்கின்ற (x₁, x₂, …, xn) வெக்டர் நேரியத் திட்டமிடல் கணக்கின் சாத்திய தீர்வு (feasible Solution) எனலாம். (i)-b சமன்பாடுகளின் n–m மாறிகளுக்கு 0–மதிப்புக் கொடுத்து, எஞ்சிய m மாறிகள் கொண்ட m சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வு இருக்குமானால், அத்தீர்வு அடிப்படைத் தீர்வு (basic solution) எனப்படும். அடிப்படைத் தீர்வு xj ≥ 0 என்னும் கட்டுப்பாடுகளையும் நிறைவு செய்யுமானால், அது சாத்தியமான அடிப்படைத் தீர்வு (basic feasible solution) எனப் படும். இங்கு m மாறிகள் அனைத்தும் > 0 என்றிருந்தால், அது கேடுறா அடிப்படைச் சாத்தியத் தீர்வு (non degenerate basic feasible solution) எனப் படும். குறிக்கோள் சார்புக்கு மீச்சிறு மதிப்பைத் தரும் சாத்தியத் தீர்வு மீச்சிறு சாத்தியத் தீர்வு எனப் படும். நேரியத் திட்டமிடல் கணக்கில் சாத்தியத் தீர்வுகள் K என்னும் ஒரு குவி கணத்தை அமைக்கின்றன. இக்கணம் n பரிமாண யூக்ளிட் வெளியில் வெற்றாகவோ, குவிப் பன்முகியாகவோ, வரம்பற்றுச் செல்லும் குவி பகுதியாகவோ இருக்கலாம். Kj குவி பன்முகியாக இருந்தால், இக்கணத்திற்கும் மீச்சிறு சாத்தியத் தீர்வு உண்டு. மேலும், குவி பன்முகியின் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முனைப் புள்ளிகளில் மீச்சிறு தீர்வு அமையுமானால், இப்புள்ளிகளின் குவிச் சேர்க்கையிலும் குறிக்கோள் சார்பு மீச்சிறு மதிப்பைப் பெறும். நேரியத் திட்டமிடல் கணக்கில் தீர்வுகளின் மேற்காணும் வடிவக் கணிதப் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டு, டான்சிக் என்பார் சிம்ப்ளக்ஸ் முறையை உருவாக்கினார். மேற்காணும் சிம்ப்ளக்ஸ் முறையைக் கணிப் பொறி வழியாகத் தீர்வு காண்பதற்கும் திட்டங்கள் (Programmes) உள்ளன. நடைமுறையில் எழும் நேரியத் திட்டமிடல் கணக்கில் கருத வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை மிகும் போது, கணிப் பொறியே மிகுந்த பயனளிக்கிறது. அமெரிக்கச் செயல் ஆய்வுக் கழகத்தின் 1984ஆம் ஆண்டு கூட்டத்தில் இந்தியாவைச் சேர்ந்த 28 வயதே நிரம்பிய டாக்டர் நரேந்திர கார்மார்க்கர் என்பார் சிம்ப்ளக்ஸ் துறையையும் விஞ்சிய வேகத்தில் (நேரியத்திட்டமிடல் கணக்குகளுக்கு) செயல் படும் கணக்கீட்டு முறையைத் தெரிவித்துள்ளார். இந்த முறை வணிகத் தொழில் துறைகளில் எழும் நேரியத் திட்டமிடல் கணக்குகளை விரைந்து தீர்க்க வேண்டிய தேவை கருதி வளர்ந்து வரும் கணிப் பொறித் துறையில், அண்மையில் நிகழ்ந்த குறிப்பிடத் தக்க மாறுதலாக விளங்குகிறது. —பி. ஞானசுந்தரம்