நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுதிகளின் தீர்வு முறைகளையும், அவை தொடர்பான வெக்டர் வெளி (Vector Space) மற்றும் நேரியல் உரு மாற்றங்கள் (linear transformation) பற்றிய வடிவியல் கருத்துகளையும் விவரிக்கும் கணிதத் துறை நேரியல் இயற் கணிதம் (linear algebra) ஆகும். பல மாறிச் சார்புகளின் கணிப்பியல் (calculus) கோட்பாடுகளுக்கு அடிப்படையாக இது அமைகிறது. அதனால், இயற்பியல், உயிரியல், பொருளியல், புள்ளியியல், பொறியியல் துறைகளில் கணிதத்தின் தாக்கத்திற்கும், பல கணிதத் துறைகளுக்கும் மிகவும் இன்றியமையாததாக இது விளங்குகிறது. நேரியல் வெக்டர் வெளி. இயற் கணித அமைப்புக் கொண்ட கணிதப் பொருளிகளின் தொகுதிகளில் நேரியல் வெளியும் (linear space) ஒன்றாகும். கூட்டல் ஈருறுப்புச் செயலினைப் பொறுத்து, இது ஒரு குலமாக (group) அமைவதாகும். யூக்ளிட் வெளியில் திசையுள்ள நேர் கோட்டுத் துண்டுகளின் குறுக்கமும், உருப் பெருக்கமும் அமைவது போல, நேரியல் வெளியின் உறுப்புகளும், களமொன்றின் உறுப்புகளோடு பெருக்கப் படும் போது, மாற்றமடைகின்றன.ஒரு நேரியல் வெளியைக் கீழ்க் காணுமாறு வரையறுக்கலாம். F என்னும் களத்தின் மேல் ஒரு நேரியல் வெளியை வரையறுப்பவை V என்னும் கணமும், அதில் கீழ்க் காணும் அடிக் கோள்களை நிறைவு செய்யும் x + y என்னும் கூட்டல் தளைப்பும், α x என்னும் அளவெண் பெருக்கத் தளைப்பும் (Composition) ஆகும். x + y என்பன V-இன் உறுப்புகள். α என்பது F இன் உறுப்பாகும். x , y \in V எனில், x + y \in V x , y, z \in V எனில், x + (y + z ) = (x+y) + z <!---- x, y .z are elements of the group V and hence should be represented by lower case letters only ----> x + 0 = 0 + x = x என்னும் சமன்பாடுகளை நிறைவு செய்யும் 0 என்னும் உறுப்பு V இல் உள்ளது. Vஇலுள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பு x–க்கும், x + (-x) = (-x) + x = 0 என்னும் சமன்பாடுகளை நிறைவு செய்யும் - x என்னும் உறுப்பு Vஇல் உள்ளது. x , y \in V எனில், x + y = y + x \alpha \in F, x, y \in V எனில், \alpha \big( x + y \big) = \alpha x + \alpha y \alpha , \beta \in F, x \in V எனில், ( \alpha +\beta ) x = \alpha x + \beta x \alpha , \beta \in F, x \in V எனில், ( \alpha \beta ) x = \alpha (\beta x) I என்பது Fஇன் அலகுறுப்பு மற்றும் x \in V எனில், I \cdot x = x என்றாகும். Vஇலுள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பு x ஐயும், x = \Sigma \alpha_i u_iஎனத் தனித்துவ (Unique) நேரியல் சேர்க்கையாக (linear Combination) எழுதக் கூடுமென்றால், B-ஐ V–இன் அடிப்படை (basis) எனலாம். மேலும் {α i} நிரல் வெக்டரை, B–ஐப் பொறுத்து x-இன் ஆயத் தொலை (Coordinate) வெக்டர் எனலாம். இதை [X] எனக் குறிப்பிடலாம். வெக்டர் வெளி ஒவ்வொன்றுக்கும் ஓர் அடிப்படை உண்டு. அடிப்படைகள் அனைத்தும் ஒரே எண் அளவையைக் (Cardinality) கொண்டிருக்கும். இது V-இன் பரிமாணம் (dimension) எனப்படும். U–என்பது Vஇன் உட்கணம் எனலாம். x, y என்பன U-வின் உறுப்புகளாகவும் α, β என்பன Fஇன் உறுப்புகளாகவும் இருந்து, α x + βy என்பதும் Uவின் உறுப்பாக அமைந்தால், Uவினை V-இன் உள்வெளி (Sub space) ஆகும். மேலும் X + U என்னும் இணைக் கணங்களின் (Cosets) கணத்தை V/U எனக் குறிப்பிட்டு, அதை வெளி (quotient space) எனலாம். (X+U என்னும் இணைக் கணம், X+ u என்னும் வெக்டரின் கணமாகும். இதில் X என்பது Vஇலுள்ள நிலையான வெக்டர். u என்பது Uவின் மாறி உறுப்பாகும்). V/U என்னும் வெக்டர் வெளியில், கூட்டலும், அளவெண் பெருக்கலும் (X+U) + (Y+U) = X+Y+U எனவும், α (X+U) = αX+U எனவும் வரையறுக்கப் படுகின்றன. V, W என்பன F என்னும் ஒரே களத்தின் மேலான வெக்டர் வெளிகள் எனலாம். V–இன் ஒவ்வொரு வெக்டர் X-க்கும் W–இன் Y என்னும் ஒரே வெக்டரைத் தொடர்பு படுத்தும் T என்னும் கோர்ப்பினை (mapping) T \cdot V \rightarrow W எனலாம். இக்கோர்ப்பு T(X1 + X2) = T(X1)+T(X2); T(α X) = α T(X). \{TX / X \in V \} என்னும் சமன்பாடுகளை நிறைவு செய்தால், அதை நேரியல் உருமாற்றம் எனலாம். \{TX / X \in V \} என்னும் கணத்தை T இன் கீழான X-இன் எதிர் உரு (image) எனலாம். இதை TX எனவும் குறிக்கலாம். TX என்பது Wஇன் உள்வெளியாக இருக்கும். \{z \in V / Tz = 0 \} என்னும் கணத்தை T–இன் மைய உரு (kernel) எனலாம். இது Vயின் உள்வெளியாக இருக்கும். T: V \rightarrow W என்பது ஒரு நேரியல் உருமாற்றம் எனலாம். இதில் V என்பது B={Vi} ஐ அடிப்படையாகக் கொண்ட X = \Sigma \alpha_i v_i (x \in V) என்றிருந்தால், Tx = \Sigma \alpha_i T(v_i ) என்றாகிறது. ஆதலால், Vi–க்கு ஒத்த TVi என்னும் எதிர் உருக்கள் அனைத்தும் தெரியுமாயின், Tx என்னும் எதிர் உருவைக் கணக்கிட முடியும். இப்போது W என்னும் வெளியை B_2 = \{W_j \}என்பதை அடிப்படையாகக் கொண்ட m பரிமாண வெளியாகக் கொள்ளலாம். Tv_i = \Sigma a_{ji}W_j எனலாம். இவ்வகையாக, n–பரிமாண வெளி V–யிலிருந்து m–பரிமாண வெளி W–க்கு வரையறுக்கப்படும் T–என்னும் நேரியல் உருமாற்றம் ஒன்றுக்கு A={aji} என்னும் m x n அணியைத் தொடர்பு படுத்த முடியும். x \ne 0, (\in V)க்கு ஒத்த T–இன் கீழான எதிர் உருவின் ஆயத் தொலை வெக்டரைக் கணக்கிட, Xஇன் ஆயத் தொலை வெக்டரை Tஇன் அணியால், இடப் புறமாகப் பெருக்கலாம். அதாவது [TX] = A[X]என்றாகிறது. இதனால், கொடுக்க ப்பட்ட வெக்டர்களை, மீண்டும் வெக்டர்களாக மாற்றும் நேரியல் செயலிகளாக அணிகள் அமைகின்றன. V, W என்பன முடிவுறு (Finite) பரிமாணங்கள் கொண்டவை எனவும், b என்பது w–இல் உள்ள வெக்டர் எனவும் கொண்டால், TX = b என்னும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் x என்னும் வெக்டர்களைக் காணும் சிக்கல், நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுதிகளின் தீர்வுக் கணத்தைக் காணும் வகையில் அமைகிறது. T : V \rightarrow W என்பது ஒரு நேரியல் உருமாற்றம் எனில், TX = λX என்னும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் x \ne o, (\in V) என்னும் வெக்டரும் λ என்னும் அளவெண்ணும் இருக்குமாயின், -வை 7-இன் சிறப்பியல்பு மதிப்பு (Characteristic Value) எனவும் X-ஐ λ–க்கு ஒத்த T–இன் சிறப்பியல்பு வெக்டர் (Characteristic vector) எனவும் குறிப்பிடப் படும். λ-க்கு ஒத்த சிறப்பியல்பு வெக்டரும், வெற்று (null) வெக்டரும் அடங்கிய கணம் V-இன் உள்வெளியாக அமைகிறது. இதை T–இன் சிறப்பியல்பு வெளி (eigen space) எனலாம். நேரியல் உருமாற்றம் ஒன்றின் சிறப்பியல்பு மதிப்பையும், வெக்டரையும் காணும் சிக்கல் சிறப்பியல்பு மதிப்புக் கணக்கு (eigen value problem) எனப் படும். இவ்வகையான கணக்குகள் இயற்பியலின் பல துறைகளில் இன்றியமையாதனவாக உள்ளன. குறிப்பிட்ட உரு மாற்றம் மிகவும் எளிய உருவைப் பெறத் தேவைப் படும் ஆயத் தொலைவு அமைப்புகளைக் (Coordinate System) காண இவை துணை புரிகின்றன. இயக்கவியலில் திண்மப் பொருளின் முதன்மையான திருப்புத் திறன்களைக் (Principal Moments) காண, அதன் நிலைமப் பண்புருவைக் குறிக்கும். சமச் சீரணிகளின் (Symmetric matrix) சிறப்பியல்பு மதிப்புகளைப் பயன் படுத்தலாம். தொடராக (Continum) இயக்கவியலில் முதன்மைத் திசைகளில் பொருளொன்றின் சுழற்சிகளையும் (Rotations), உருத் திரிபுகளையும் (deformations) காணச் சமச்சீரணிகளின் சிறப்பியல்பு மதிப்புகள் பயன் படுகின்றன. T₁, T₂ என்பனவற்றை F–க்கு மேலானதும், U–யிலிருந்து V–க்குள்ளானதுமான நேரியல் உருமாற்றங்களாகவும், α என்பதை F–இலுள்ள அளவெண்ணாகவும் கொண்டால், T₁ + T₂ மற்றும் αT ஆகியவற்றை (T_1 + T_2) = T_1 X + T_2 X; (\alpha T) X = \alpha (TX) என்னும் சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கலாம். V–யிலிருந்து W–க்குள்ளான ஒரு நேரியல் உருமாற்றம் T₃ எனக் கொண்டால், (T_1 T_3) X = T_1 (T_3 X) என்னும் சமன்பாட்டால் T₁, T₃ஐ வரையறுக்கலாம். T₁ + T₂, αT மற்றும் T₁ T₃ என்னும் அனைத்துக் கோப்புகளும் நேரியல் உரு மாற்றங்களாக உள்ளன. Uவிலிருந்து V–க்குள்ளான நேரியல் உருமாற்றங்களின் கணத்தினை hom (U, V) எனலாம். T₁ + T₂ என்னும் கூட்டலையும், αT என்னும் பெருக்கலையும் பொறுத்து, இதுவும் ஒரு வெக்டர் வெளியாகும். Vயினை F எனக் கொண்டு பெறப் படும், வெக்டர் வெளி hom (U . F) X V* எனக் குறிப்பிட்டு, அதை V–இன் இணை இயவெளி (Conjugate Space) எனலாம். V*–என்பது V–இன் மேலான நேரியல் சார்புகளின் வெளியாகும். hom (U, V) மற்றும் F–இலுள்ள அளவெண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட mxn அணிகளின் கணம், இவையிரண்டினுக்கிமிடையேயான இயைபு (Correspondence) ஒன்றுகட்கொன்றாவதாகும். மேலும் இவ்வியைபு கூட்டலையும், அளவெண் பெருக்கலையும் மாற விடாமல் காக்கிறது. hom (U, V) யிலுள்ள ஒவ்வோர் உரு மாற்றத்திறகும், ஒரே ஓர் அணி ஒத்து அமைகிறது. மற்றும் இரண்டு உருமாற்றங்களின் கூட்டுத் தொகைக்கு ஒத்த அணியாக, அம்மாற்றங்களுக்கான அணிகளின் கூட்டுத் தொகை அமைகிறது. V = U எனில், அவ்வியைபு பெருக்கலையும் மாற விடாமல் காக்கிறது. இவ்வகையில், முடிவுறு பரிமாணங்கள் கொண்ட வெக்டர் வெளிகளுக்கிடையேயான நேரியல் உருமாற்றங்களின் கோட்பாடுகளும், அணிகளின் போட்பாடுகளும் ஒரே பண்பாடு பெற்றுள்ளன. —கு. மணிவாசகன்