{"licence": "CC BY-SA 4.0", "licence_url": "https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/", "attribution": "Oliyon Nigandu (Oliyon Research), https://nigandu.oliyonresearch.com", "api": "https://nigandu.oliyonresearch.com/api/", "api_url": "https://nigandu.oliyonresearch.com/api/v1/entries/wreh5s9g/", "data": {"id": "wreh5s9g", "url": "https://nigandu.oliyonresearch.com/e/wreh5s9g/", "kind": "article", "headword": "சுருக்க வாய்பாடு", "romanization": "curukka vāypāṭu", "pos": "", "disputed": false, "revision": 1, "published_at": "2026-10-26T12:58:57.940510+00:00", "etymology": "", "variants": [], "related": [], "categories": [], "senses": [], "summary_ta": "சில சார்புகளுக்கு எளிதாகவோ, வெளிப்படையாகவோ தொகை, (integral) காண இயலாது.", "body_ta": "சில சார்புகளுக்கு எளிதாகவோ, வெளிப்படையாகவோ தொகை, (integral) காண இயலாது. இருப்பினும், வேறு ஓர் எளிய சார்பின் தொகை காணும் கணக்குடன் தொடர்பு படுத்தி, இதை எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, Sinx என்ற சார்புக்கு நேரடியாகத் தொகை காண்பது எளிதன்று. ஆனால், \\int Sin^n x dx = \\frac {-Sin^{n-1}x Cosx}{n} + \\frac {n-1}{n}int Sin^{n-2}xdx எனக் காணலாம். இதில்\\int Sin^nx dx என்பதை I எனக் குறிப்பிடின், I என்பதைக் காண I தெரிந்தால் போதுமென்றும், n என்பதற்குப் பிரதியாக (n-2) எனக் கொண்டால், I என்பதைக் காண, I தெரிந்தால் போதுமென்றும், முடிவில் n ஒற்றைப் படை எனில், I_1 = \\int Sinxdx, இரட்டைப் படை எனில் I_0 = \\int dx போன்ற மிக எளிய சார்புகளின் தொகை தெரிந்தால் போதுமென்றும் தெளிவாகிறது. இவ்வாறு மேற்சொன்னது 'போல I என்பதை I, I …… போன்ற அதற்குக் கீழ் வரிசையிலுள்ள தொகை காணும் கணக்குகளுடன் தொடர்பு படுத்தித் தரும் வாய்பாட்டிற்குச் சுருக்க வாய்பாடு (reduction formula) எனப் பெயர்.\n\nபெரும்பாலான சுருக்க வாய்பாடுகள் \\int {udv} = uv - \\int {vdu} என்னும் பகுதி முறைத் தொகைக் காணலைப் பயன்படுத்திக் கடைப்பனவாகும். அவை கீழ்க்காணும் இரண்டு வாய்பாடுகளும் சுருக்க வாய்பாடுகளின் அடிப்படையில் பெற்ற மிகப் பயனுள்ள வாய்பாடுகள் ஆகும்.\n\n1. n > 1 எனில், I_n = \\int_0^\\frac {\\pi}{2} Sin^n xdx = \\int_0^\\frac {\\pi}{2} Cos^n xdx\n\n=\\frac {(n-1)(n-3) ... 2}{n(n-2) ... 3} (n ஒற்றைப் படை எனில்) =\\frac {(n-1)(n-3) ... 1}{n(n-2) ... 2}.\\frac {\\pi}{2} (n இரட்டைப் படை எனில்)\n\n2. m,n > 1 எனில். I_(m,n) = \\int_0^\\frac {\\pi}{2} Sin^m x . Cos^n xdx\n\n=\\frac {(m-1)(m-3) ... 2}{(m+n)(m+n-2) ... (n+3)} \\frac {1}{n+1} (m ஒற்றைப் படை எனில்)\n\n=\\frac {(n-1)(n-3) ... 2}{(m+n)(m+n-2) ... (m+3)}.\\frac {1}{m+1} (n ஒற்றைப் படை எனில்)\n\n=\\frac {(m-1)(m-3) ... 1 . (n-1)(n-3) ... 1}{(m+n)(m+n-2) ... . (n+2)n(n-2)...2}.\\frac {\\pi}{2} [(m,n) இரண்டும் இரட்டைப் படை எனில்]\n\n—சி. செள. கருப்பன்செட்டி"}}