{"licence": "CC BY-SA 4.0", "licence_url": "https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/", "attribution": "Oliyon Nigandu (Oliyon Research), https://nigandu.oliyonresearch.com", "api": "https://nigandu.oliyonresearch.com/api/", "api_url": "https://nigandu.oliyonresearch.com/api/v1/entries/6x7hyhch/", "data": {"id": "6x7hyhch", "url": "https://nigandu.oliyonresearch.com/e/6x7hyhch/", "kind": "article", "headword": "நேர் கோட்டுத் தொகை", "romanization": "nēr kōṭṭut tokai", "pos": "", "disputed": false, "revision": 1, "published_at": "2026-10-26T12:59:03.634427+00:00", "etymology": "", "variants": [], "related": [], "categories": [], "senses": [], "summary_ta": "சாதாரண தொகையின் ஒரு பொதுமையே நேர் கோட்டு தொகை (linear integral) ஆகும்.", "body_ta": "சாதாரண தொகையின் ஒரு பொதுமையே நேர் கோட்டு தொகை (linear integral) ஆகும். இதை \\int_c \\overline v \\cdot d\\overline s என்றோ \\int_c f (x,y,z)ds என்றோ குறிப்பிடலாம். C என்னும் வளை வரையை Xஅச்சின் (a,b) என்னும் இடைவெளியாகக் கொண்டால், \\int_c f (x,y,z)ds என்னும் நேர் கோட்டுத் தொகை \\int_a ^b f (x,0,0)dx என்னும் சாதாரணத் தொகையாகிறது. சாதாரணத் தொகைக்குள்ள அனைத்துப் பண்புகளும், நேர் கோட்டுத் தொகைக்கும் உண்டு. இப்போது, மேற்குறிப்பிட்ட இரு நேர் கோட்டுத் தொகைகளையும் வரையறுக்கலாம்.\n\nA, B என்னும் புள்ளிகளை இறுதிப் புள்ளிகளாகக் கொண்ட C என்னும் வளை வரையின் அனைத்துப் புள்ளிகளிலும் வரையறுக்கப் பட்டுள்ள என்னும் திசையின் புள்ளிச் சார்பினை (Vector Point Function) எடுத்துக் கொள்ளலாம்.\n\nஇவ்வளைய வரையை, திசையுள்ள சமமான \\Delta_1 \\overline S, \\Delta_2 \\overline S, \\dots \\Delta_n \\overline S என்னும் n நாண்களின் கூட்டாகத் தோராயப் படுத்தலாம். இந்நாண்கள் வரையறுக்கும் வளை வரையின் துண்டு ஒவ்வொன்றிலும், ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில், பெறும் மதிப்பை \\overline v_1, \\overline v_2, \\dots \\overline v_n எனலாம். பின்னர், \\sum_{j=1}^{n} v_j \\cdot \\Delta_j \\overline s என்னும் அளவெண் பெருக்கல்களின் கூட்டுத் தொகையைக் கணிக்கலாம். \\int_c \\overline v \\cdot d\\overline s என்னும் நேர் கோட்டுத் தொகை இப்போது கீழ்க் காணும் எல்லையாக வரையறுக்கப் படுகிறது. \\int_c \\overline v \\cdot d\\overline s = \\lim _{n \\to \\infty} \\sum_{j=1}^n v_{j} \\cdot \\Delta_j \\overline s என்னும் அளவெண் புள்ளிச் சார்பை . எடுத்துக் கொண்டால், \\int_c fds நேர்கோட்டுத் தொகை கீழ்க் காணுமாறு வரையறுக்கப் படுகிறது. C = (A,B) என்னும் வில், x = x(s); y = y(s); z=z(s); \\sigma_1 \\le s \\le \\sigma_2 என்னும் சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப் படுவதாகக் கருதலாம். Cஐ n சிறு வில்களாக [ \\sigma_1, \\sigma_2] என்னும் இடைவெளியை \\Delta s_1, \\Delta s_2 \\cdots \\Delta s_n என்னும் n உள் இடை வெளிகளாக பிரிக்கலாம். Δsiஇல் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் sஇன் மதிப்பு s₁ ஆக இருக்கலாம். இப்போது, கீழ்க் காணும் கூட்டுத் தொகையைக் கணிக்கலாம். I_n = \\sum_{i=1}^{n} f[x(s_i), y(s_i), z(s_i)] \\Delta s_i\n\nஉள் இடைவெளிகள் Δsi மற்றும் அவற்றின் எடுக்கப் படும் புள்ளிகள் (s₁) அவற்றின் தெரிவு, எவ்வாறு இருந்தாலும். மிகப் பெரிய உள் இடைவெளி Δsj இன்மையை நெருங்கும் போது, {In} என்னும் தொடர்பு ஓர் எல்லையை நெருங்குமானால், அவ்வெல்லையை \\int_c fds என்னும் நேர் கோட்டுத் தொகையின் மதிப்பு என வரையறுக்கலாம்.\n\nAB என்னும் வளை வரையை மாற்றாமல், அதன் திசையை மட்டும் BA என மாற்றினால் கிடைக்கும் நேர் கோட்டுத் தொகை, முந்தைய மதிப்பு மாறாமல் அதன் குறியை மட்டும் மாற்றிப் பெறுவதாகும். \\int_{I-1} f(x,y)dx என்னும் நேர் கோட்டுத் தொகை ஒரு சிடில்சே (stieltjes) தொகையாக அமையக் காணலாம். Γன் துணையலகு சமன்பாடுகள் x = \\phi(t), y = \\psi(t), a \\le t \\le b என்றாகிறது. \\int_a^b f[\\phi(t), \\psi(t)]d \\phi(t) நேர் கோட்டுத் தொகையைச் சில சமயங்களில் கீழ்க் காணுமாறு வரையறுத்த தொகையாக மாற்றலாம். என்னும் வெக்டர் புள்ளிச் சார்பின் xyz கூறுகள் Fx, Fy, Fz எனக் கொள்ளலாம்.\n\nதொகையைக் கணக்கிடும் வளைவின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் Fx, Fy, Fz ஆகியன வரையறுக்கப் பட்டு, வளைவு இழை உடையதாக இருப்பின், (அதாவது ஒவ்வொரு புள்ளியிலும், வளைவு தொடர்ச்சியான வகைக் கெழுவைக் கொண்டிருப்பின்) வளைவின் பண்பளவு சமன்பாடுகள் x=x(p); y=y(p); z=z(p) எனக் கொடுக்கப் பட்டால், \\int_c \\overline F\\cdot d\\overline r என்னும் நேர் கோட்டுத் தொகையை \\int_{p_1}^{p_2} F_x(p)x'(p)dp + \\int_{p_1}^{p_2} F_y(p)y'(p)dp + \\int_{p_1}^{p_2} F_z(p)z'(p)dp என்னும் வரையறுத்த தொகையாக மாற்றிக் கணக்கிடலாம்.\n\nC என்பது மூடிய வளை வரையாயிருப்பின், (வளை கோடாக–அதாவது இறுதிப் புள்ளிகள் A, B என்பன ஒரே புள்ளியில் அமையுமாயின்), இந்நேர்க் கோட்டு தொகையை வளை கோட்டுத் தொகை அல்லது சுற்றுத் தொகை எனலாம். இது \\phi \\overline F \\cdot d \\overline r எனக் குறிப்பிடப் படும்.\n\nபல மாறிச் சார்புகளின் தொகையீட்டுக் கணிப்பியலில் நேர் கோட்டுத் தொகை இன்றியமையாதது. ஸ்டோக்ஸ் வாய்ப்பாடு, பரப்பிடத்தின் மேலான தொகையீட்டை அப்பரப்பிடத்தின் பரம்பின் மேலான நேர் கோட்டுத் தொகையாக மாற்றிக் கணக்கிடத் துணை புரிவதைக் காணலாம்.\n\nஇதன் இரு பரிமாண வடிவம் \\oint P(x,y)dx + Q(x,y) dy = \\iint_{D} \\big[ \\frac{\\partial Q}{\\partial x} - \\frac{\\partial P}{\\partial y}] dx dy என்னும் கிரீன் (Green) வாய்ப்பாடாகும். இதில் C என்பது D என்னும் அரங்கத்தில் உள்ளடங்கிய மூடிய வளை வரையாகும். P, Q மற்றும் அவற்றின் ஒருபான் வகைகள் Dஇல் தொடர்ச்சியானவை.\n\nஇவ்வாய்ப்பாட்டின் விளைவாக நேர் கோட்டுத் தொகையின் ஓர் இன்றியமையாப் பண்பைப் பெறலாம். \\frac{\\partial Q}{\\partial x} - \\frac{\\partial P}{\\partial y} = 0 என்றானாலோ P dx + Q dy என்பது ஒரு முழு வகையீடாக அமைந்தாலோ \\int_{AB} Pdx + Qdy நேர் கோட்டுத் தொகையின் மதிப்பு A, B என்னும் இறுதிப் புள்ளிகளைச் சேர்க்கும் பாதையைச் சாராமல் இருக்கும்.\n\nஅதாவது F(x,y) என்பது Pdx + Qdy இன் எதிர் வகைக் கெழுவானால், இந்நேர் கோட்டுத் தொகையின் மதிப்பு F(B) = F(A) என்றாகும். அதனால் \\int_{AB} Pdx + Qdy என்பதை \\int_{A}^{B} Pdx + Qdy என்றும் எழுதலாம்.\n\nநேர் கோட்டுத் தொகை கணித இயற்பியலில் குறிப்பாகப் புலத் துறையில் நேரடியாகப் பயன் படுத்தப் படுவதைக் காணலாம். நேர் கோட்டுத் தொகையின் சில இயற்பியல் பயன்பாடுகள் வருமாறு:\n\n\\overline F என்பது ஒரு விசையானால், \\int_{C}\\overline F \\cdot d\\overline r என்னும் நேர் கோட்டுத் தொகை C என்னும் வளை வரையின் மேல் ஒரு பொருண்மையை நகரச் செய்வதால், செய்யும் வேலையைக் குறிக்கும். என்பது பாய்மத்தின் திசை வேகத்தைக் குறிக்கும். இத்தொகை வளை வரையின் மேலான பாய்மத்தின் சுற்றளவைக் குறிக்கும். என்பது மின் நிலையில் சார்பான புலச் செறிவைக் குறிப்பதாகக் கொண்டால், இத்தொகை வளை வரையின் இறுதிப் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான மின்னழுத்த வேறுபாட்டைக் கணக்கிடும். மின் காந்தப் புலச் செறிவாகவும், Cஐ வளை கோடாகவும்கொண்டால், இவ்வளை கோட்டுத் தொகை மின் சுற்றியின் மின் இயக்கு விசையைக் குறிப்பதாகும். ஐ அழுத்தச் சரிவெனக் கொண்டால், இந்நேர் கோட்டுத் தொகை இறுதிப் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான அழுத்த வேறுபாட்டைக் கொடுப்பதைக் காணலாம். —கு. மணிவாசகன் துணை நூல். M.Vygodsky, Mathematical Hand Book, Mir Publishers, Moscow, 1971."}}