{"licence": "CC BY-SA 4.0", "licence_url": "https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/", "attribution": "Oliyon Nigandu (Oliyon Research), https://nigandu.oliyonresearch.com", "api": "https://nigandu.oliyonresearch.com/api/", "api_url": "https://nigandu.oliyonresearch.com/api/v1/entries/4bbxyrte/", "data": {"id": "4bbxyrte", "url": "https://nigandu.oliyonresearch.com/e/4bbxyrte/", "kind": "article", "headword": "செயலிப் பண்புகள்", "romanization": "ceyalip paṇpukaḷ", "pos": "", "disputed": false, "revision": 1, "published_at": "2026-10-26T12:59:00.348001+00:00", "etymology": "", "variants": [], "related": [], "categories": [], "senses": [], "summary_ta": "வகையிடல் செய்கை என்னும் குறியீடு மூலம் குறிப்பிடப்படுகிறது.", "body_ta": "வகையிடல் செய்கை என்னும் குறியீடு மூலம் குறிப்பிடப்படுகிறது. என்பதற்குப் பிரதியாக ஒரே எழுத்து Dஐப் பயன்படுத்துவது செயல் முறையில் உள்ளது. D வகையீட்டுச் செயலி (differential operator) எனப்படும். அதாவது,\n\nD = ; Dy = ஆகும். இங்கு Dy என்பதை ஒரு பெருக்கலாகவோ, y இன் கெழுவாகவோ கருதக் கூடாது. D என்னும் வகையீட்டுச் செயலி y என்னும் சார்பின் மேல் இயங்குகிறது எனக் கொள்ள வேண்டும். மேலும் என்பது ஒரு x ஐப் பொருத்த சார்பாகும். இவ்வாறே, D²y = ; D³y = , …… பொதுவாக Dny = ஆகும். D முதல் வகைக் கெழுச் செயலி என்றும், D² இரண்டாம் வகைக் கெழுச் செயலி என்றும், … Dn என்பது n முறை வகைக்கெழுச் செயலி என்றும் கருத வேண்டும்.\n\n(D-x)y இன் D ஒரு செயலி, α ஓர் இயற்கணித மாறி எனக் கொண்டால், (D-α)y = Dy-αy என்பதில், αy என்பது α, y இரண்டின் பெருக்கம் என்றும், Dy என்பது {[sfrac|dy|dx என்றும் கொள்ள வேண்டும். (D - α) (D - β)y எனில், முதலில், y மேல் (D - β) செயல்பட்டுப் பெறப்படும் சார்பின் மீது D - α செயல்படும். α, β மாறிகளாவன: (D - α) (D - β)y = (D - α) ((D - β)}y\n\n= (D - α)(Dy - βy)\n\n= D(Dy - βy) - α(Dy - βy)\n\n= D²y - (α + β)Dy + αβy\n\nஇவற்றிலிருந்து D(αy) = α (Dy)\n\nD (βy) = β(Dy) என்றும்\n\n(α+β) Dy = α (Dy) + β (Dy) என்றும் அறியலாம்.\n\nதலைகீழ்ச் செயலிகள். Dy = u எனக் கொண்டால், = u, ∴y = ∫u dx\n\ny = u = D-1 u என்பதிலிருந்து D-1 u = ∫u dx எனக் கிடைக்கிறது ஒரு சார்பின் வகைக்கெழு காண்பதும், பின்னர், அவ்வகைக் கெழுவின் தொகை காண்பதும் முறையே செயலும், தலைகீழ்ச் செயலுமாகும். மாற்று முறையும் பொருத்தமாகும்.\n\nஎடுத்துக்காட்டாக, D[ ∫f(x) dx] = ∫[Df(x)] = f(x) என ஆகும். —பங்கஜம் கணேசன்"}}