{"licence": "CC BY-SA 4.0", "licence_url": "https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/", "attribution": "Oliyon Nigandu (Oliyon Research), https://nigandu.oliyonresearch.com", "data": {"id": "j3er679m", "url": "https://nigandu.oliyonresearch.com/e/j3er679m/", "kind": "article", "headword": "சார்பிலாக் குவாண்டம் கோட்பாடு", "romanization": "cārpilāk kuvāṇṭam kōṭpāṭu", "pos": "", "disputed": false, "revision": 1, "published_at": "2026-10-26T12:58:53.119497+00:00", "etymology": "", "variants": [], "related": [], "categories": [], "senses": [], "summary_ta": "ஒளியின் திசை வேகத்தை விடக் குறைவான திசை வேகங்களுடன் இயங்குகிறவையும், ஆக்கவோ, அழிக்கவோ படாதவையுமான பருப்பொருள் துகள்களுக்குப் பயன்படக் கூடிய ஒரு நவீன கொள்கை சார்பிலாக் குவாண்டம் கோட்பாடு (non-relativistic quantum theory) ஆகும்.", "body_ta": "ஒளியின் திசை வேகத்தை விடக் குறைவான திசை வேகங்களுடன் இயங்குகிறவையும், ஆக்கவோ, அழிக்கவோ படாதவையுமான பருப்பொருள் துகள்களுக்குப் பயன்படக் கூடிய ஒரு நவீன கொள்கை சார்பிலாக் குவாண்டம் கோட்பாடு (non-relativistic quantum theory) ஆகும். இது பருப்பொருள் மற்றும் மின் காந்தக் கதிர்களுடன் நிகழ்த்துகிற பரிமாற்று வினைகள் பற்றியதாகும்.\n\nபழங்கொள்கை இயக்கவியலின் நியூட்டன் விதிகளைப் போலவே, தெளிவான எடுகோள்களின் வடிவத்தில் குவாண்டம் கொள்கையின் வழக்கமான கட்டமைப்பைச் சுருக்கமாக விவரித்து விடலாம். சார்பிலாக் குவாண்டம் கோட்பாட்டின் மரபொழுங்கு (formalism) தானாக உருவானதன்று. அது பழங்கொள்கைகளின் ஏற்கத் தக்க அமைப்புள்ள நீட்டிப்பே ஆகும்.\n\nஅலைச்சார்பெண்ணும், நிகழ்தகவு அடர்த்தியும். பருப்பொருளின் அலைப் பண்புகளுடன் சார்பு இணைந்திருக்கிறது; அது அலைச் சமன்பாட்டுக்குக் கீழ்ப்படியும் என்பதே குவாண்டம் கொள்கையின் அடிப்படையாகும். ஒரு முப்பரிமாண வெளியில் இருப்பதிலேயே மிக எளிய அலை, திசையிலி அலையாகும். அது ψ(x,y,z,t) = ψ((r,t) என்ற ஒரே ஒரு சார்பு அலைக் கிளர்ச்சியை முழுமையாகக் குறிப்பிட்டுக் காட்டி விடுகிறது. எனவே ψ(x,y,z,t) என்ற அலைச் சார்பு V(r) எனக் குறிப்பிடப்படுகிற விசை அழுத்தத்தை உடைய, ஒரு விசைப் புலத்தில் இயங்குகிற, ஓர் ஒற்றைத் துகளாக இருக்கக் கூடிய எளிய வடிவம் கொண்ட ஓர் இயற்பியல் அமைப்பைப் பற்றிய முழுமையான தகவலை அளிக்கும். பழங்கொள்கைகளின் மூலம் [ψ(r.t)| அலைச் செறிவுக்கு நேர் விகிதத்திலிருக்கும். அதை நிகழ்தகவு அடர்த்தியாக வைத்துக் கொள்ளலாம். அதாவது x மற்றும் x+dx, y மற்றும் y+dy, z மற்றும் z+dz ஆகிய ஆயங்களுக்கிடையில் பரவியிருக்கிற, dxdydz=dr என்ற பருமமுள்ள வெளியில், t என்ற நேரத்தில் ஒரு துகளைக் காண்பதற்கான நிகழ் தகவு [ψ(r.t)| dr.\n\nψ(r…rt) என்ற சார்பு g துகள்கள் கொண்ட ஓர் அமைப்பை முழுமையாக விவரிக்கும் என்று பொதுவாக ஏற்றுக் கொள்ளலாம். இந்த அமைப்பில் ஒன்றாம் துகளை dr= dxdydz என்ற பருமத் துண்டிலும், ஏனைய துகள்களை அவற்றுக்கேற்ற பருமத் துண்டுகளிலும் g என்ற துகளை dr =dxdydz என்ற பருமத் துண்டிலும் t என்ற கணத்தில், சம காலத்தில் காண்பதற்கான நிகழ் தகவு |ψ(r…rt)| ஆக இருக்கும். மேலும், வேறு படுத்திப் பார்க்கக் கூடிய g துகள்கள் அடங்கிய ஓர் அமைப்பில் j என்ற துகளை = x, y, z என்ற இடத்தில் உள்ள dr என்ற பருமத் துண்டில் காண்பதற்கான நிகழ் தகவு P(r)dr எனில், P(r)dr=dr[∫{dr…drdrdr…dr X|ψ(r…r.r.r…r)|] (1)\n\nஇங்கு |ψ(r…r| என்பது 1 முதல் j-1 வரையிலும் j+1 முதல் g வரையிலுமான எல்லாத் துகள் நிலைகளையும் சேர்த்துத் தொகைப்படுத்துகிறது. r =r எனவும் வைத்துக் கொள்ளலாம்.\n\nஇயல்பாக்குதல் (normalization). 1 முதல் g வரையிலான ஒவ்வொரு துகளும் பருப்பொருளியல் வெளியில் ஓர் இடத்தில் இருந்தே ஆக வேண்டும். எனவே பின் வரும் சமன்பாடு g துகள்களின் எல்லா நிலைகளையும் பொறுத்துத் தொகையிடப்பட வேண்டும் என (1) ஆம் சமன்பாடு வற்புறுத்துகிறது.\n\n∫drP(r)=[∫{dr…dr|ψ(r…r| (2a)\n\nமேற்காணும் சமன்பாடு நிறைவு செய்யப்பட்டால், அலைச்சார்பு இயல்பாக்கப்பட்டதாகச் சொல்லப்படும்.\n\nψ(r…r.t) என்பது பின்வரும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் அலைச் சார்பாக இருக்கலாம்.\n\n∫dr…dr|ψ|=C ≠ 1 (2b)\n\nψ—ஆல் குறிப்பிடப்படுகிற நிகழ் தகவுகளை இயல்பாக்கப்பட்ட ψ=Cψexp(iη)எனும் சார்பைப் பயன்படுத்தி முதற் சமன்பாட்டிலிருந்து பெறலாம். இதற்கு C வரம்பிலியாக இருக்கக் கூடாது. அதாவது ψ இருமடித் தன்மையில் தொகைப்படுத்தக் கூடியதாக இருக்க வேண்டும். η மெய்யானதாக இருப்பதால் exp(iη) என்ற கட்டக் காரணியைத் (phase factor) தன்னிச்சையாகத் தேர்ந்தெடுத்துக் கொள்ளலாம். ψ(r…r இருமடித் தன்மையில் தொகைப்படுத்த முடியாததாக இருக்கும் போது, P(r) என்ற தனி நிகழ்தகவுகள் வரையறுக்கப் படுவதில்லை என்ற போதும், 1 முதல் g வரையான துகள்களை முறையே r முதல் r வரையான நிலைகளில் காண்பதற்கான சார்பு நிகழ்தகவுக்கான ஒரு பயனுள்ள அளவாக |ψ'(r)| இருக்கும்.\n\nஉண்மையான பருப்பொருள் அமைப்புகளைக் குறிப்பிடக்கூடிய அலைச் சார்பைக் கருத்தில் கொண்டால் மட்டும் போதும். . r…r என்ற 3g பரிமாண வெளியில் வரம்பிலியை அணுகும் போது, ψ' மிக மிக மெதுவாகச் சுழியாகிறது அல்லது ஒரு வரையறைக்குட்பட்டதாக இருக்கிறது என்பதால்தான் ψ' (r…r) என்ற ஏற்கக் கூடிய, பருப்பொருள் தன்மையில் சாத்தியமான, அலைச் சார்பு இருமடித் தன்மையில் தொகையிடப்படக் கூடியதாக இருக்கிறது அல்லது அவ்வாறு இல்லை எனக் கற்பித்துக் கொள்ளப்படுகிறது. இந்த இரண்டு வகைகளைச் சேராத மற்ற வகை அலைச் சார்புகள் இருக்க முடியா என்பதற்கு நம்பகமான இயற்பியல் காரணங்களையும், கணிதவியல் காரணங்களையும் கண்டுபிடிக்க முடியும். இருமடித் தன்மையில் தொகையிடப்பட முடியாத ψ'(r) என்ற ஒற்றைத் துகள் சார்புகள் பழங்கொள்கைப் படி கட்டுக்கடங்கி வைக்கப்படாத அமைப்புகளுக்கு நேரானவை, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு ஹைட்ரஜன் அணுவிலிருந்த அயனியாக்கம் செய்யப்பட்ட ஓர் எலெக்ட்ரான் இத்தகைய அமைப்பு ஆகும். இத்தகைய அமைப்புகளுக்கு ψ(r)=∞ψ'=0 என்ற அலைச் சார்பின் வெளிப்படையான பொருள் எந்த ஒரு வரையறைக்குட்பட்ட பருமத்திற்கு வெளியிலும், ஒரு கட்டுப்படாத துகளை நிச்சயமாகக் கண்டு பிடிக்க முடியும் என்பதேயாகும். ψ'(r) போன்ற இத்தகைய அலைச் சார்பு ஓர் எல்லையற்ற பருமத்தில் தன்னிச்சையாக இயங்கிக் கொண்டிருக்கிற எல்லையற்ற எண்ணிக்கையிலான துகள்களையும் குறிப்பிட முடியும். இத்தகைய துகள்களுக்கு எடுத்துக்காட்டாக, ஓர் எலெக்ட்ரான் மூலத்திலிருந்து பொழிகிற தனியான எலெக்ட்ரான்களின் கற்றையைக் கூறலாம். இந்நிகழ்வில் |ψ'| ஓர் எலெக்ட்ரானைக் காண்பதற்கான சாத்தியக் கூறை விவரிப்பதாகத் தொடர்ந்து நீடித்தாலும், (2b) சமன்பாட்டில் C மதிப்பை வரம்பிலியாக்கி விட்டால், r என்ற ஏதாவது ஒரு புள்ளியில் உள்ள உண்மையான எலெக்ட்ரான் எண்ணிக்கை அடர்த்திக்கு |ψ'(r)| சமமாயிருக்கும் என வைத்துக் கொள்ளலாம். (2b) சமன்பாட்டில் C = ∞ எனில், மொத்த வெளியிலும் உள்ள துகள்களின் எண்ணிக்கை வரம்பிலி எனக் காட்டுவதாகிறது. இந்தக் கருத்துகளை இருமடித் தன்மையில் தொகையிட முடியாத பல துகள் அலைச்சார்புகளாக ψ'(r…r)ஆகியவற்றுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.\n\nதற்சுழற்சி. ஒரு துகள் என்பது கட்டமைப்பு இல்லாத உருப்படி எனவும், அதன் நிலையான r தெரிந்து விட்டால், அதைப் பற்றிய எல்லா விவரங்களும் தெரிந்து விடும் எனவும் பழங்கொள்கை இயற்பியல் கற்பித்துக் கொள்கிறது. மேலே விவரித்த மரபொழுங்கும் அந்தக் கருத்தை ஏற்றுக் கொள்கிறது. வழக்கமான நிலைப்பாடு உள்ளவையாகக் கருதப்படுகிற பொருள்களை உருவாக்குகிற அடிப்படைத் துகள்களான எலெக்ட்ரான்கள், புரோட்டான்கள், நியூட்ரான்கள் ஆகிய அமைப்புகளுக்கு இந்தக் கருத்து துல்லியமானது அன்று. எனவே மேற்சொன்ன மரபொழுங்கும் முழுமையாகப் போதுமானது அன்று. குறிப்பாக ψ(r,t) என்ற ஒற்றையான அலைச் சார்பெண் ஓர் எலெக்ட்ரான் அல்லது புரோட்டான் அல்லது நியூட்ரானை முழுமையாக விவரிக்க முடியாது. இவற்றில் ஒவ்வொரு துகளுக்கும் ψ(r,t), ψ(r,t) என்ற இரண்டு அலைச் சார்புகள் தேவை. இவற்றை ஒட்டு மொத்தமான இரட்டைக் கூற்றுஅலைச் சார்பான (ψ(r,t) இன் ஆக்கக் கூறுகளாகக்\n\nகருதலாம். ஒரு பல கூற்று அலைச் சார்பு தேவைப்படுவதைப் பழங்கொள்கை அடிப்படையில் துகளுக்கு உள்ளிட உரிமைப் படிகள் (degrees of freedom) இருப்பதாக விளக்கலாம். அதாவது துகளின் இருப்பிடம் தெரிந்து விட்டதாலேயே, அதைப் பற்றிய அனைத்து விவரங்களும் தெரிந்து விட்டதாக கொள்ளவியலாது. இந்த உள்ளிட உரிமைப் படிகள் உள்ளார்ந்த கோண உந்தம் அல்லது தற்கழற்சியுடன் தொடர்பு கொண்டவை எனக் காட்ட முடியும்.\n\nஎலெக்ட்ரான், புரோட்டான், நியூட்ரான் ஆகியவற்றுக்கு ½h என்ற தற்கழற்சி உள்ளது. இதில் h=. h என்பது பிளாங்கின் மாறிலி தற்சுழறசியின் விசை ஆக்கக் கூறான Sக்கு ±½ என்ற மதிப்புகளே அனுமதிக்கப்பட்டுள்ளன. இவ்வாறு அமைப்பில் ½ தற்கழற்சியுள்ள ஒரே ஒரு துகள் மட்டுமே இருக்குமானால், |ψ{rt|dr என்பது dr என்ற பருமத்தில் S=+½ மதிப்புள்ள ஒரு துகளைக் கண்டு பிடிப்பதற்கான நிகழ்தகவாகும் என விளக்கலாம். அதே போல் |ψ{rt| என்பது s=-½ மதிப்புள்ள ஒரு துகளைக் கண்டு பிடிப்பதற்கான நிகழ்தகவு அடர்த்தியாகும். (2a) என்ற சமன்பாட்டுக்கு மாறாகப் பின் வரும் இயல்பாக்க நிபந்தனையைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.\n\n∫dr[|ψ(r.t)|+|ψ(r.t)|=1 (3)\n\nஇந்த மரபொழுங்கை எளிதாகப் பல துகள் அமைப்புகளுக்கு நீட்டிக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, அமைப்பில் ½ தற்சுழற்சியுள்ள g துகள்கள் இருக்குமானால், ஒட்டு மொத்த அலைச்சார்பு ψஇல் γ எண்ணிக்கையில் ψ ஆக்கக்கூறுகள் இருக்கும். | ψ{r…r| என்பது + z திசையில் அமைந்த தற்சுழற்சியுள்ள 1 முதல் g வரையான ஒவ்வொரு துகளையும் கண்டுபிடிப்பதற்கான நிகழ்தகவு அடர்த்தியாகும். j=1 முதல் j= 2 வரை கூட்டப்பட்ட இயல்பாக்க நிபந்தனை பின்வருமாறு:\n\n∫dr…dr|r.t|(r…r|=1 (4)\n\nஅலைச் சார்பெண் இருமடித் தன்மையில் தொகையிடப்பட முடியாததாக இருக்கும்போது உள்ள தகுந்த மறுவிளக்கங்கள் வெளிப்படையானவை.\n\nசெயலிகள் (operators). பழங்கொள்கை இயக்கவியலில் r என்ற துகள் ஆயங்களும், P என்ற உந்தங்களும் எண்களாகக் கொள்ளப்படுகின்றன. எந்தக் கணத்திலும், அவற்றைத் தனித்தனியாகக் குறிப்பிட முடியும். ஆனால், குவாண்டம் இயக்கவியலில் r,P ஆகியவற்றின் ஆக்கக் கூறுகள் நேர்போக்குச் செயலிகள்; அதே போல் ஆயங்கள். உந்தங்கள் ஆகியவற்றின் f(r,P) என்ற சார்புகளும் நேர்போக்குச் செயலிகள் ஆகும்.\n\nx என்ற செயலி ψ(x) என்ற அலைச் சார்பை ஆயத்தால் பெருக்கச் செய்கிறது; அதாவது Xψ=xψ எனவும், அத்துகளின் உந்தத்தின் விதிப்படி பரிமாற்றான x-ஆக்கக் கூறுக்கு நேரான செயலி\n\np = (h/i)∂/∂x, அதாவது Pψ=(h/i)∂ψ/∂x எனவும் கற்பிதங்கள் செய்து கொள்ளப்படுகின்றன.\n\nஇவ்வாறு ஒரு குறிப்பிட்ட அலைச் சார்பு ψஇன் மேல் A என்ற நேர்போக்குச் செயல் நிகழும் போது உண்டாகிற ψ'=Aψ என்ற புதிய அலைச்சார்பு ψ குறிப்பிடுகிறது. A, B, C ஆகியவை நேர் போக்குச் செயலிகளாகவும், ψ,ξ ஆகியவை எவையேனும் இரண்டு சார்பெண்களாகவும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டால், பின்வரும் சமன்பாடுகள் பொருத்தமாக இருக்கும்.\n\nΑ(ψ + ξ) = Αψ + Αξ\n\n(Α + Β)ψ = Αψ + Βψ (5)\n\nABψ = A(Bψ)\n\nமேலும் ξ,ψ ஆகியவற்றைக் கூட்டவோ, சமமாக்கவோ முடியுமானால், அவற்றிலுள்ள ஆக்கக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை சமமாகவும், அவை ஒரே வெளி ஆயங்களையும், தற்சுழற்சி ஆயங்களையும் சார்ந்தவையாகவும் இருக்க வேண்டும். ξ = ψ எனில், அவற்றின் நேரான ஆக்கக் கூறுகளும் சமமாக இருக்கும். ஒரு தற்சுழற்சி சாராச் செயலி ஒரு பல கூற்று அலைச் சார்பின் ஒவ்வோர் ஆக்கக் கூறின் மேலும் ஒரே விதமான செயலை நிகழ்த்துகிறது. எடுத்துக்காட்டாக\n\n(рψ)= рψ)\n\n=(h/i)∂ψ/∂x.\n\nதற்சுழற்சி சார்ந்த செயலிகள் மிகவும் சிக்கலானவை. எடுத்துக்காட்டாக 1/2 தற்சுழற்சியுள்ள ஓர் ஒற்றைத் துகள் அமைப்பில், ψ'=sψ என்ற அலைச் சார்பின் ஆக்கக் கூறுகள் பின்வருமாறு இருக்கும். இதில s என்பது தற்கழற்சிச் செயலியின் Z திசை ஆக்கக் கூறைக் குறிக்கிறது.\n\nψ'=½hψ, ψ'=½hψ (6)\n\nψ என்ற ஏதாவது ஓர் அலைச் சார்பிற்கு A(Bψ)= B(Aψ) எனில் A, B ஆகிய செயலிகள் பரிமாற்றுத் தன்மை உள்ளவையாகச் சொல்லப்படும். அப்போது பின்வரும் சமன்பாடு இயலக் கூடியதாகும்.\n\nAB—BA=0 (7)\n\n(AB—BA) என்ற செயலி, A, B ஆகியவற்றின் பரிமாற்றி எனப்படும். A என்ற செயலியில் வலிமைத் தொடராக (power series) குறிப்பிடக்கூடிய f(A) என்ற எந்த ஒரு செயலியும், A உடன் பரிமாற்றம் செய்யும். குறிப்பிட்ட செயல்கள் மூலம் பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறலாம்.\n\nஇரட்டையான செயலிகள் பரிமாறிக் கொள்ள வேண்டிய கட்டாயம் இல்லை என இது காட்டுகிறது. g துகள்கள் கொண்ட ஓர் அமைப்பில் x, y, z முதல் x, y, z வரையான எல்லாத் துகள் ஆயங்களும் ஒன்றோடொன்று பரிமாற்றம் செய்து கொள்கின்றன . p…p வரையான எல்லா உந்த ஆயங்களும் ஒன்றோடொன்று பரிமாற்றம் செய்து கொள்கின்றன. rஅல்லது p இன் எந்த ஓர் ஆக்கக் கூறும் r…r, வரையான தொலைவுகள், p வரையான தொலைவுகள், p…p வரையான உந்தங்கள் ஆகியவற்றின் எல்லா ஆக்கக் கூறுகளுடனும் பரிமாற்றம் செய்து கொள்கின்றன. எந்த ஒரு துகளின் x ஆயமும் அத்துகளின் p, p ஆகியவற்றுடன் பரிமாற்றம் செய்து கொள்கிறது. இவ்வாறே பிறவும் செய்கின்றன.\n\nஹெர்மிசியன் செயலிகள். ξ(r…r), ψ(r…r) என்ற போதுமான அளவில் நன்கு செயல்படும் இருமடித் தன்மையில் தொகையிடக்கூடிய அலைச் சார்பின் எல்லா இரட்டைகளுக்கும் பின்வரும் சமன்பாடு பொருத்தமாக இருக்குமானால், g துகள்களைக் கொண்ட ஒரு குறிப்பிட்ட அமைப்புக்குப் பொருத்தமாக இருக்கிற A என்னும் செயலி ஹெர்மிசியன் செயலி எனப்படும்.\n\nஇச்சமன்பாட்டில் நட்சத்திரக் குறி இணைச் சிக்கல் எண்ணைக் (complex conjugate) குறிக்கிறது. ξ, Aψ, ψ, Aξ ஆகியவற்றின் எல்லா j ஆக்கக் கூறுகளையும் இணைத்துக் கூட்டியுள்ளது. நன்முறையில் செயல்படும் எல்லா f(r…r) சார்புகளையும் போலவே x,y,z… x,y,x என்ற எல்லாத் துகள் ஆயங்களுமே ஹெர்மிசியன் செயலிகள் ஆகும். இருமடித் தன்மையில் தொகையிடப்படக் கூடிய சார்புகள் வரம்பிலியில் மறைந்து விடுவதை நினைவில் கொண்டு, பகுதி பகுதியாகத் தொகையிட்டால், p…p ஆகியவற்றின் எல்லா ஆக்கக் கூறுகளும் ஹெர்மிசியன்கள் என்பது தெரியும். அதே போல, p…p ஆகியவற்றின் ஆக்கக் கூறுகளில் ஒரு வலிமைத் தொடராகக் குறிப்பிடக்கூடிய f(p…p) என்ற எந்த ஒரு சமன்பாடும் ஹெர்மிசியன் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாகத் தற்சுழற்சியற்ற எளிய ஒற்றைப் பரிமாண அமைப்பில் பின்வரும் சமன்பாடு பொருத்தமாக இருக்கும்.\n\nξ, ψஆகியவை தொடர்ச்சியானவை என்பது இங்கு தொக்கி நிற்கிறது. அவ்வாறு இல்லாத போது, பகுதி பகுதியாகத் தொகையீடு செய்யும் போது (10) ஆம் சமன்பாட்டின் வலப்பக்கத்தில் கூடுதலான கோவைகள் இடம் பெறும். அதே போல ξ, ψ ஆகியவை தொடர்ச்சியாகவும், எல்லா நிலைகளிலும் தொடர்ச்சியான முதல் வகைக்கெழுக்களைப் (first derivative) பெற்றவையாகவும் இருந்தால் மட்டுமே p 9ஆம் சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட, விரும்பக்கூடிய ஹெர்மிசியன் பண்பைப் பெற்றிருக்கும்.\n\nA,B,C ஆகியவை தனித்தனியாக ஹெர்மிசியன் தன்மை பெற்றிருக்குமானால், பின்வரும் சமன்பாடு சரியாக இருக்கும்:\n\nA,B ஆகியவை ஹெர்மிசியன்களாக இருக்கும் போது ,½(AB+BA) என்பது ஹெர்மிசியன் எனவும், A,B ஆகியவை பரிமாற்றம் செய்யக் கூடியவையாக இல்லாவிட்டா,ல் AB,BA ஆகியவை ஹெர்மிசியன்களாக இரா எனவும் 11 ஆம் சமன்பாடு காட்டுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, xP. Px ஆகியவை ஹெர்மிசியன்கள் அல்ல. ஆனால், ½(xP + Px) ஹெர்மிசியன் பழங்கொள்கைப்படி xP, Px அல்லது ½(xP + Px) ஆகியவற்றுக்கிடையில் வேறுபாடு இல்லை என்பது உண்மையே. தக்கபடி சமச் சீர்மைப்படுத்தி, 11ஆம் சமன்பாட்டில் உதவியுடன் ஆயங்கள், உந்தங்கள் ஆகியவற்றின் ஆக்கக் கூறுகளில் ஒரு வலிமைத் தொடராகக் குறிப்பிடக்கூடிய, f(r…r;P…P) என்ற எந்த ஒரு பழங்கொள்கைப்படியான சார்பு எண்ணுக்கும் ஒத்த ஒரு குவாண்டம் இயக்கவியல் ஹெர்மிசியன் செயலியை உருவாக்க முடியும்.\n\ng துகள்கள் கொண்ட ஒரு குவாண்டம் இயக்கவியல் அமைப்பின் மேல் செயல்படும் விசைகள், ஒரு பழங்கொள்கை அமைப்பின் மேல் செயலபடும் விசைகளைப் போன்றவையே என வைத்துக் கொண்டால், ஆற்றல் செயலி பின்வரும் சமன்பாட்டில் உள்ள பழங்கொள்கை ஹாமில்டோனியன் ஆகும்.\n\nஇதில் இயக்க ஆற்றல்\n\nV(r…r) என்பது நிலை ஆற்றல்; m என்பது ஒரு துகளின் நிறை.\n\nV(r…r)-ஐ விட மிகவும் சிக்கலான நிலை ஆற்றல் செயல்களுடன் கூடிய பழங்கொள்கைப்படி அல்லாத குவாண்டம் இயக்கவியல் விசைகள் அரிதானவை அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு நியூட்ரான்களுக்கு இடையிலான இடைவினைகளில் பின்வரும் சமன்பாட்டில் காணப்படுவதைப் போன்ற வெளிப் பரிமாற்றங்கள் சேர்ந்திருப்பவையாக நம்பப்படும்.\n\nஇதில் J(r) என்பது துகள்களுக்கு இடையிலுள்ள தொலைவான r இன் ஒரு சாதாரணமான சார்பு, P என்பது வெளிப் பரிமாற்றச் செயலி, இது ψஇன் ஒவ்வோர் ஆக்கக்கூறிலும் 1,2 ஆகிய துகள்களின் வெளி ஆயங்களைப் பரிமாற்றம் செய்கிறது.\n\nமெய்யான தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகள். A என்ற செயலிக்கான தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புச் சமன்பாடு பின்வருமாறு:\n\nஇதில் α என்பது தற்சிறப்பியல்பு மதிப்பாகும். u(α)என்பது அதற்கு நேரான தற்சிறப்பியல்பின் சார்பு.\n\nH என்ற ஆற்றல் செயலிக்கான தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புச் சமன்பாடு Hu=Eu என்பது ஒரு சிறப்பான முக்கியத்துவம் கொண்டது. அதற்குக் காலம் சாரா சுரோடிஞ்சர் சமன்பாடு என்று பெயர். α என்ற தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகள் அளவீட்டுப் பலன்களாக இனம் காணப்படுவதால் அவையனைத்தும் கூட்டு எண்களாக இல்லாமல் மெய் எண்களாக இருப்பதும், அவற்றுக்கு நேரான தற்சிறப்பியல்புச் சார்புகள் ஒரு முழுமையான கணமாக அமைவதும் விரும்பத்தக்கன. நடைமுறையில் கருவிகளின் மூலம் எடுக்கப்படுகிற அளவீடுகள் மெய் எண்களாகவே இருக்கின்றன. Aஇன் தற்சிறப்பியல்பு மதிப்பு கூட்டு எண்ணாக இருந்தால், αஇன் ஒவ்வொரு மதிப்பும் A-ஐச் சரியாக அளவிட்டதன் மூலம் கிடைத்த சாத்தியமான பலனைக் குறிப்பிடுவதாகக் கருத முடியாது. மெய்யான அளவுகளைக் கூட்டுக் கோவைகளுடன் இணைக்க முடியும் என்றாலும், மேற்காணும் கூற்றை மறுக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக xy தளத்திலுள்ள rஇன் ஆயங்கள் x + iy என்ற கூட்டு வெக்டாராக அமைகின்றன.\n\nA என்ற ஒரு ஹெர்மிரியன் செயலியின் இருமடித் தன்மையில் தொகையிடக் கூடிய தற்சிறப்பியல்புச் சார்புகளான u(α)=u) ஐச் சேர்ந்த α என்ற தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகள் மெய்யானவை. (11)ஆம் சமன்பாட்டிலுள்ள குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி (9)ஆம் சமன்பாட்டில் ξ=ψ = u என அமைத்து, (14)ஆம் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தினால், பின்வரும் சமன்பாடு கிடைக்கிறது.\n\nமேற்காணும் சமன்பாடு α=α* எனக் காட்டுகிறது. எனவே, காணக் கூடிய எல்லாச் செயலிகளும் ஹெர்மிசியன் செயலிகள் என எடுத்துக் கொள்ளப்படும். இதற்கு மாறாக, எல்லா ஹெர்மிசியன் செயலிகளும் காணக் கூடிய அளவுகளைக் குறிப்பனவாக வைத்துக் கொள்ளப்படும். இது முதற்கொண்டு எல்லாச் செயலிகளும் ஹெர்மிசியன்களாகக் கொள்ளப்படும். அத்துடன், அனுமதிக்கப்பட்ட தற்சிறப்பியல்புச் சார்புகள் 9 ஆம் சமன்பாட்டின் ஹெர்மிசியத் தன்மையை மாறாமல் வைத்துக் கொள்ள வேண்டியது இன்றியமையாதது. இல்லையேல் (15) ஆம் சமன்பாடு சரியாக இருக்காது. H=T+V என்ற முக்கியமான ஹாமில்டோனியன் செயலிகளின் வகைக்கு, தனித் தன்மை வாய்ந்த தொடர்ச்சியற்ற அழுத்தங்கள் உள்ள போது தவிர u,∂u/∂x ஆகியவை தொடர்ச்சியாக இருக்க வேண்டும் என்னும் எல்லை நிபந்தனையானது. (14) ஆம் சமன்பாட்டிற்குத் தீர்வு காணக் கூடிய, இருமடித் தன்மையில் தொகையிடக் கூடிய ஒரு u அளவுக்கு நேரான தற்சிறப்பியல்பு மதிப்பு மெய்யானதாக இருப்பதை உறுதி செய்கிறது. ஆனால் (2 b) சமன்பாட்டை அடுத்து வரையறுக்கப் பட்டிருக்கிற அனுமதிக்கப்பட்ட அலைச் சார்புகள், இருமடித் தன்மையில் தொகையிட முடியாதவையாக இருக்கலாம்.\n\nஇருமடித் தன்மையில் தொகையிடப்படக் கூடிய u-க்குச் சரியாக இருக்குமாறு 15 ஆம் சமன்பாட்டை அமைக்கும் தொடர்ச்சி நிபந்தனைகள் u, ∂u/∂x முதலியவற்றை நிறைவு செய்கிற நிலையில் Aஇன் தற்சிறப்பியல்புச் சார்புகளான u(α) அனுமதிக்கப்படக் கூடியவையாக இருக்க வேண்டும் என்னும் எளிய, விரும்பத்தக்க தேவையிலிருந்து α என்ற தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகள் மெய்யாக இருக்க வேண்டும் என்பதும், அவற்றுக்கு நேரான தற்சிறப்பியல்புச் சார்புகள் முழுமையான கணமாக அமைய வேண்டும் என்பதும் பெறப்படுகின்றன. ஓர் ஒற்றையான, தற்- சுழற்சியற்ற துகள் அடங்கிய அமைப்புக்கு இந்தக் கற்பிதம் சரியானதாகக் காணப்படும். இதை விடச் சிக்கலான அமைப்புகளுக்கும், இந்தக் கற்பிதம் சரியானதாகவே இருக்கும் என்ற நம்பிக்கையைக் குவாண்டம் இயக்கவியலின் அளவறுதியான வெற்றிகள் ஏற்படுத்துகின்றன.\n\nஆர்த்தகோனால் தன்மை (orthogonality). இருமடித் தன்மையில் தொகையிடக் கூடிய தற்சிறப்பியல்புச் சார்புகளுக்கு நேரான α தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகள் மாதிரித் தன்மையில் அமைந்த ஒரு கணமாக உருவாகின்றன. அது வரம்பிலியாக இருக்கக் கூடிய வாய்ப்பு இருந்தாலும், அதை எண்ணி விடலாம். அது Aஇன் தனித்தனியான கூறுகளின் வரிசையை உருவாக்குகிறது. அனுமதிக்கப்பட்ட, இருமடியல்லாத தன்மையில் தொகையிடக் கூடிய தற்சிறப்பியல்புச் சார்புகள், மாதிரித் தன்மையில் Aஇன் தொடர்ச்சியான கூறு வரிசையை உருவாக்குகிற மெய்யான தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகளின் ஒரு தொடர் கணத்திற்கு நேராக இருக்கின்றன. α என்ற ஒரே மதிப்புக்கு நேரிணையாக u… u வரை தன்னிச்சையான d தற்சிறப்பியல்பு சார்புகள் இருக்குமானால், α என்ற தற்சிறப்பியல்பு மதிப்பு பன்மைக் கூற்றுத் தன்மையுள்ளதாக (degenerate) இருக்கும். அதன் பன்மைக் கூற்றுத்தன்மை அளவு d≥2. ஆனால், இத்தகைய தற்சிறப்பியல்புச் சார்புகளின் எண்ணிக்கை d+1 ஆக இருக்குமானால், அவை தன்னிச்சையாக இராமல் சார்தன்மையுள்ளவையாகவே இருக்கும்.\n\nc… c வரையான மாறிலிகள் அனைத்துமே சுழிக்குச் சமமாக இல்லாமல், பின் வரும் சமன்பாடு சரியாக இருக்குமானால், ψ… ψ வரையான d சார்பெண்கள் நேர்போக்கில் சார்தன்மையுள்ளவையாக இருக்கும் . cψ+… +cψ=C (16). தனித்தனியாகவோ, தொடர்ச்சியாகவோ, இரு வகையாகவோ இருக்கும் தற்சிறப்பு மதிப்புகள் பன்மைக் கூற்றுத் தன்மையுள்ளவையாக இருக்கக் கூடும். தற்செயலான பன்மைக் கூற்றுத் தன்மையும் ஏற்பட முடியும். எனினும், சாதாரணமாக Aஇன் α தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகளின் பன்மைக் கூற்றுத் தன்மை, Aயுடன் பரிமாற்றம் செய்யக் கூடிய ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட செயலிகளுடன் தொடர்பு கொண்டுள்ளது. பன்மை கூற்றுத் தன்மை இல்லாத போது, u(α) தற்சிறப்பியல்பு சார்புகள் α—வினால் குறியிடப்படுகின்றன. அவற்றைப் பின் வரும் சமன்பாட்டில் காட்டியபடி ஆர்த்தோ நார்மல் சமன்பாடுகளை நிறைவு செய்யும் வகையில் தேர்வு செய்து கொள்ளலாம்.\n\n(17) ஆம் சமன்பாட்டில் δ' குரோனக்கர் குறி எனப்படுகிறது. தொடர்ச்சியற்ற கூறு வரிசையில் (spectrum) உள்ள போது, அது பயன்படுத்தப்படுகிறது.\n\nα தொடர்ச்சியான கூறு வரிசையில் அமைந்து விட்டால், δ(α-α') என்ற டிராக்கின் டெல்டா சார்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது. α≠0 எனில் δ(α-α')=0 ஆனால் அதற்குப் பின்வரும் சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிற ஒரு வரம்புடைத் தொகையீடு உண்டு.\n\nf(α) சார்புகளின் ஏராளமான வகைகளுக்குப் பின் வரும் சமன்பாடு சரியாக இருக்கும் என δ(α-α') இன் இந்தப் பண்புகள் காட்டுகின்றன.\n\n(17)ஆம் சமன்பாடு பொருத்தமாக இருக்கும் போது, u(α), α அளவுப்படியில் இயல்பாக்கப்பட்டதாகச் சொல்லப்படும். எனவே x=0 என்ற நிலையில் δ(α) மிகு ஒருமைத் தன்மையுள்ளதாக இருக்கும் எனத் தோன்றுகிறது. அது Xஇன் ஓர் இரட்டைப்படைச் சார்பாகும்.\n\nவெவ்வேறு தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகளுக்கு நேரிணையான தற்சிறப்பியல்பு சார்புகள் எப்போதும் ஆர்த்தோ கோனல் தன்மையுள்ளனவாயிருக்கும் என (17) ஆம் சமன்பாடு வலியுறுத்துகிறது. அதாவது, α=α' என உள்ள போதெல்லாம், (17) ஆம் சமன்பாட்டிலுள்ள தொகையீடு சுழிக்குச் சமம் ஆகி விடும். தனித்தனியான α அல்லது α' மதிப்புகளுக்கும் இது பொருந்தும். உண்மையில் தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகள் பன்மைக் கூற்றுத் தன்மை பெற்றிருந்தாலும், பெற்றிரா விட்டாலும், α≠α' என்பதற்கு ஆர்த்தோகோனால் தன்மை உண்டு, α, α' ஆகிய இரண்டுமே தொடர்ச்சியான வரிசையில் அமைந்து விடும் போது, (17) ஆம் சமன்பாட்டின் தொகையீடு குவிவதில்லை. எனவே, அது உண்மையில் வரையறுக்கப்படுவதில்லை. இவ்வாறு δ(α-α') என்ற டெல்டாச் சார்பெண் முதன்மையாக ஒரு பயனுள்ள மரபொழுங்கு எல்லாவிடங்களிலும் (18) ஆம் சமன்பாட்டில் உள்ளதைப் போலவே தொகையிடப்படும். இத்தகைய தொகையீடுகள் (17) ஆம் சமன்பாட்டின் இடப்பக்கத்தில் உள்ளதைப் போன்ற கோவைகளைப் பயனுறு முறையில் குவிக்கவே செய்கின்றன.\n\nகுவாண்டம் கொள்கையில் பயன்படுத்தும் டெல்டாச் சார்பையோ, (17) ஆம் சமன்பாட்டையோ தீவிரமான கணித அடிப்படையில் நியாயப்படுத்துவது கடினமாகும். α தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகள் மெய்யாக இருக்க வேண்டும் என்றும், அவற்றுக்கு நேரிணையாகத் தற்சிறப்பியல்பு சார்பு முழுமையான கணமாக அமைய வேண்டும் என்றும் உள்ள பண்புகளை உறுதியுடன் நிறுவுவதில் உள்ள இடையூறுகளே இதற்குக் காரணம். ஆனாலும், சார்பியல் அற்ற குவாண்டம் கொள்கையின் கணித நடைமுறைகளின் அடிப்படையான சரியான தன்மையை ஐயப்பட முடியாது.\n\nபயன்பாடு. பின்வரும் பகுதிகளில் ஒற்றைப் பரிமாணமுள்ள, தற்சுழற்சியற்ற, x திசையில் மட்டுமே நகரும் துகள்களைப் பற்றிய சில கணக்கீடுகள் விவரிக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு கணக்கீடும் (14)ஆம் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தகுந்த தீர்வைக் கண்டு பிடிப்பதிலிருந்து தொடங்குகிறது. இத்தகைய எளிய அமைப்புக்குக் கிடைக்கிற புலன்கள், இதை விடச் சிக்கலான அமைப்புகளுக்கும் பொருத்தமாகவே இருக்கின்றன.\n\nஉந்தம்: (14) ஆம் சமன்பாட்டைப் பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்.\n\nஇங்கு hk என்பது தற்சிறப்பியல்பு மதிப்பு; வழக்க மாக, தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகள் k என்ற அலை எண்ணால் குறியிடப்படும். (19) ஆம் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் u(x,k)=c(k)eXp[ikx] என்ற வடிவத்தில் இருக்கும். இங்கு c(k) என்பது ஓர் இயல்பாக்கும் சார்பாகும். k மெய்யானதாக இருக்கும் போது, -∞ < x <∞ என்ற எல்லா x மதிப்புகளுக்கும், u(x,k) வரம்புடையதாக இருக்கும். இதன் பின் விளைவாக வரிசை தொடர்ச்சியானதாயும் -∞ ≤ x ≤∞ என்ற எல்லா X மதிப்புகளை உள்ளடக்கியதாயும் இருக்கும். kஇல் ஒரு கற்பனைப் பகுதி இருக்குமானால், அதாவது k=k +ik,k≠ 0 எனில் u(x,k +ik) என்பது ஏற்க முடியாதது. ஏனெனில் X= +∞ அல்லது X= -∞ என்ற நிலையில் அது வரம்பிலியாகி விடுகிறது. |x| ≥ a என்ற நிலையில் தற்சிறப்பியல்பு மதிப்பு ஒத்த வகையில் மறைந்துவிடக் கூடுமானால், அது k என்ற கூட்டளவுக்கு இருமடித் தன்மையில் தொகையிடக் கூடியதாக இருக்கும். அது போல நிகழும் போது, தற்சிறப்பியல்பு சார்பு x = a என்ற நிலையில் தொடர்ச்சியற்றதாக இருக்கும். எனினும், C(k) = 0 என்று இல்லாத வரையில், பின் வரும் சமன்பாடு சரியானதாக இருக்கும்.\n\nஇவ்வாறு u அனுமதிக்கக் கூடியதாயும், தொடர்ச்சியானதாயும் இருக்க வேண்டும் என்கிற தேவை, p இன் தற்சிறப்பியல்பு மதிப்புகள் மெய்யாக இருப்பதை உறுதி செய்கிறது. தொடர்ச்சியான வரிசைக்கு இருக்க வேண்டியதைப் போலவே u(x,k) மதிப்புகள் இருமடித் தன்மையில் தொகையிட முடியாதவையாயிருக்கின்றன. ஒவ்வொரு u(x,k) மதிப்பும் ஒரே திசைவேகத்துடன் இயங்குகிற துகள்களைக் கொண்ட ஒரு கற்றையைக் குறிப்பிடுவதாக வைத்துக் கொள்ளலாம். exp[ikx] என்பது λ=2π/k என்ற அலை நீளமுள்ள மடக்குகளைக் (periodic) கொண்டுள்ளது. எனவே இத்தகைய கற்றை, போன்ற பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும். உண்மையில் டி பிராக்ளி சமன்பாடுகளுடன் உடன்பட்டுப் போகும் வகையில் p = hk= π என உள்ளது. டி பிராக்ளி சமன்பாடுகளிலிருந்து தொடங்கி, p=∂/∂x என்பது குவாண்டம் இயக்கவியல் உந்தச் செயலி என்று நிறுவ முடியும். ஆனாலும், 8ஆம் சமன்பாட்டிலிருந்து p இன் வடிவத்தை நேரடியாக ஊகித்து உணர முடியும். டி பிராக்ளின் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தாமலே, ஒரு பரிமாற்றியின் பண்புகளுக்கும் பாய்சான் அடைப்புக் குறியின் (possion bracket) பண்புகளுக்கும் இடையிலுள்ள வடிவ இசைவுகளிலிருந்து (formal analogy) 8ஆம் சமன்பாட்டைப் பெற முடியும்.\n\nk- அளவுப்படியில் இயல்பாக்கப்பட்டுள்ள தற்சிறப்பியல்பு சார்புகளைப் பின்வரும் சமன்பாட்டிலிருந்து பெறலாம்.\n\n(17) ஆம் சமன்பாட்டை ஒத்த இதற்கான சமன்பாடு பின்வருமாறு:\n\nஇந்தச் சமன்பாடு ஃபூரியரின் தொகையீட்டு மாற்றத் தேற்றத்தின் மேலோட்டமான கூற்றுக்குச் சமமானது என்பதைப் பின்வரும் சமன்பாடுகள் காட்டும்.\n\nதீவிரமான கணித முறைகளின் மூலம் (22) என்னும் சமன்பாட்டைப் பெற முடியும்.\n\nகுவாண்டம் கொள்கை முறையில் (22a) சமன்பாடு (2π) exp (-ik'x) ஆல் பெருக்கப்பட்டு x முழுமைக்கும் தொகையிடப்படுகிறது. x,k தொகையீடு களின் வரிசைகளைப் பரிமாற்றம் செய்த பின்னர், பின் வரும் சமன்பாடு கிடைக்கிறது.\n\nஇயக்க ஆற்றல். T = p/2m என்ற இயக்க ஆற்றலுக்கு (14) ஆம் சமன்பாடு பின் வருமாறு மாற்றி எழுதப்படுகிறது.\n\nஇதில் E என்பது தற்சிறப்பியல்பு மதிப்பு. பின் வரும் சமன்பாடு ஏற்கத் தக்க தீர்வுகளை அளிக்கிறது. இங்கு \\sqrt{E}மெய்யானதாக இருக்க வேண்டும்.\n\nஇவ்வாறு வரிசை தொடர்ச்சியாக E=ν முதல் E=+∞ வரை பரவியிருக்கிறது. (25) ஆம் சமன்பாட்டில் உள்ள இருமடி மூலம் நேரினமாகவோ, எதிரினமாகவோ இருக்கலாம். இவ்வாறு Eஇன் ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் இரண்டு தன்னிச்சையான தற்சிறப்பியல்பு சார்புகள் அமைகின்றன. அதாவது பன்மைக் கூற்றுத் தன்மையுள்ளதாகிறது, தற்சிறப்பியல்பு சார்புகளை u(x,E),u(x,E) எனக் குறியிடலாம்.\n\nE அளவில் இயல்பாக்கப்பட்டால், பின் வரும் சமன்பாடு கிடைக்கிறது.\n\nஇதில் இருமடி மூலம் எப்போதும் நேரினமானது, u,u ஆகியவை (17)ஆம் சமன்பாட்டைத் தனித் தனியாக நிறைவு செய்கின்றன. ஆனால் u,u ஆகிய கணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று ஆர்த்தோகோனல் தன்மை கொண்டவை. k=\\sqrt{2mE/h} என்பதை அறிமுகப்படுத்தித் தற்சிறப்பியல்பு சார்புகளை, E,+, - என்ற கீழொட்டுகள் ஆகியவற்றுக்கு k(-∞≤ k ≤ ∞) என்ற ஒரே அளவினால் குறிடலாம். (21a) சமன்பாட்டில் உள்ள u(x,k) ஆகியவை p க்கு மட்டுமன்றி Tக்குமான தற்சிறப்பியல்பு சார்புகள் ஆகும். இதிலிருந்து ஒரு துகளின் P உந்தத்தைச் சரியாகத் தெரிந்து கொண்டு விட்டால், அதன் ஆற்றல் Eஐச் சரியாகக் கண்டுபிடித்து விட முடியும் என்று தெரிகிறது. மேலும் பழங்கொள்கை இயக்கவியலில் உள்ளவாறே E=p/2m =(-P)/2m ஆக இருக்கிறது. dE=(hk/m)dk ஆதலால் (21a), (26) ஆகிய சமன்பாடுகளில் உள்ள இயல்பாக்கங்கள் வேறுபட்டிருக்கின்றன. பின் வரும் சமன்பாட்டிலுள்ள தற்சிறப்பியல்பு சார்புகளும் E அளவில் இயல்பாக்கப்பட்டிருக்கின்றன.\n\nஇந்தத் தற்சிறப்பியல்பு சார்புகள் (25)ஆம் சமன்பாட்டில் உள்ள u (x,E) க்கு ஒரு மாற்றுக் கணமாக அமைகின்றன. —கே.என்.ராமச்சந்திரன்"}}